偏心轨道的引力波为什么是一排谱线

转折点与第三个根

赤道面 Kerr 测地线满足 $r^4(dr/d\tau)^2=R(r)$ ， $R=P^2-\Delta\,(r^2+x^2)$ ，其中 $P=E(r^2+a^2)-aL$ ， $\Delta=r^2-2r+a^2$ ， $x=L-aE$ 。 $R$ 是 $r$ 的四次式，四个根为 $0$ 、 $r_3$ 、 $r_p$ 、 $r_a$ 。比较三次因式的常数项，就得到第三个根。

Glampedakis 和 Kennefick 把 $E$ 和 $x^2$ 写成 $p$ 、 $e$ 、 $a$ 的函数。实验室默认轨道 $a=0.7,\ p=7,\ e=0.4$ 给出 $E=0.94461$ ， $L=3.10553$ ， $r_3=1.902$ ，稳稳落在近心点 $5$ 以内。

r_3\,r_p\,r_a=\frac{2x^2}{1-E^2},\qquad r_p r_a=\frac{p^2}{1-e^2}\quad\Longrightarrow\quad r_3=\frac{2(1-e^2)\,x^2}{p^2\,(1-E^2)}

稳定轨道要求第三个根在近心点以内；两者相遇的地方就是分界轨道。

对应阅读：Glampedakis & Kennefick (2002)

一个消掉转折点的参数

对 $r$ 积分，两个转折点处会碰到根号为零。换元 $r=p/(1+e\cos\chi)$ 可以消掉它们。可以算出 $(r_a-r)(r-r_p)=r^2e^2\sin^2\chi/(1-e^2)$ ， $dr/d\chi=r^2e\sin\chi/p$ ，因子 $\sin\chi$ 相消，下面的方程对所有 $\chi$ 都光滑。

这几个式子是我们从径向势自己推出来的，没有照抄文献里的积分式，并且与 Boyer–Lindquist 坐标下直接积分哈密顿方程的结果做了比较。默认轨道的两个径向周期相差不到百亿分之二。

r^2\frac{d\chi}{d\tau}=\frac{p}{r}\sqrt{\frac{(1-E^2)\,r\,(r-r_3)}{1-e^2}},\qquad r^2\frac{dt}{d\tau}=a\,x+\frac{(r^2+a^2)\,P}{\Delta},\qquad r^2\frac{d\phi}{d\tau}=x+\frac{a\,P}{\Delta}

单位

\chi

的时间和方位角变化率就是这些式子的比值，

r^2

相消。

对应阅读：Glampedakis & Kennefick (2002)

两个基本频率

$\chi$ 转一整圈就是一个径向周期。把时间和方位角的变化率从 $0$ 积到 $2\pi$ ，得到周期 $T_r$ 和期间扫过的方位角 $\Delta\phi$ 。被积函数光滑且周期，梯形公式指数收敛：32个点就有十五位有效数字。

默认轨道： $T_r=226.95\,M$ ， $\Delta\phi=9.8259$ 弧度，即 $563.0^\circ$ ，近心点前移 $203^\circ$ 。 $M=10^6\,M_\odot$ 时， $f_r=0.8946\,\mathrm{mHz}$ ， $f_\phi=1.3990\,\mathrm{mHz}$ 。

T_r=\int_0^{2\pi}\frac{dt}{d\chi}\,d\chi,\qquad \Delta\phi=\int_0^{2\pi}\frac{d\phi}{d\chi}\,d\chi,\qquad \Omega_r=\frac{2\pi}{T_r},\qquad \Omega_\phi=\frac{\Delta\phi}{T_r}

两者都是坐标时频率，也就是远处探测器在扣除宇宙学红移之前测到的频率。

对应阅读：Glampedakis & Kennefick (2002)

为什么波是一把梳子

把轨道放进平直空间，把 $r$ 和 $\phi$ 当作极坐标。它的质量四极矩有两个独立部分： $A=r^2e^{2i\phi}$ 和 $B=r^2$ 。简单计算可得，无迹四极矩满足 $\sum_{jk}\dddot Q_{jk}^2=\mu^2\bigl(|\dddot A|^2/2+\dddot B^2/6\bigr)$ 。

方位角等于匀速转动加上一个每个径向周期重复一次的部分： $\phi=\Omega_\phi t+\psi(t)$ 。于是 $A=e^{2i\Omega_\phi t}\,G(t)$ ， $G$ 以 $T_r$ 为周期。把 $G$ 展成傅里叶级数， $A$ 的谱线就落在 $2\Omega_\phi+n\Omega_r$ 。 $B$ 只依赖 $r$ ，谱线在 $n\Omega_r$ 。

如果轨道不进动， $\Omega_\phi$ 等于 $\Omega_r$ ，每条线都会落在 $f_r$ 的整数倍上。实验室用灰色虚线画出这些整数倍；金色谱线偏离它们的距离，就是谱图里看到的进动。

对应阅读：Babak et al. (2017)

每条线的功率与两项检验

四极公式 $\mathcal F=\tfrac15\langle\dddot Q_{jk}\dddot Q_{jk}\rangle$ 于是拆成对谱线的求和。 $A$ 的每条线贡献 $\tfrac1{10}|A_n|^2\omega^6$ 。 $B$ 是实数， $+n$ 与 $-n$ 两条线功率相同，合起来是 $\tfrac1{15}|B_n|^2\omega^6$ 。

圆轨道检验：只剩 $A_0=r^2$ ，频率 $\omega=2\Omega_\phi$ ，求和正好得到 $\tfrac{32}{5}r^4\Omega_\phi^6$ 。弱场检验： $p=1000$ 、 $e=0.4$ 时，谱线总和是牛顿椭圆 Peters–Mathews 轨道平均功率的1.0008倍，多出的0.08%来自那个距离上轨道的相对论修正。

默认轨道最强的四条线都来自转动部分，呼吸部分只占约0.01%的功率。偏心率越大，功率越往高 $n$ 走： $e=0.7$ 时只取十四条线最多会漏掉五分之一，所以实验室取四十条。

\mathcal F=\frac{1}{10}\sum_{n}|A_n|^2\,\omega_{2,n}^6+\frac{1}{15}\sum_{n\ge1}|B_n|^2\,\omega_{0,n}^6,\qquad \omega_{2,n}=2\Omega_\phi+n\Omega_r,\quad \omega_{0,n}=n\Omega_r

这是按小天体质量平方归一的能流，轨道保持不变。

谱线 $n$	$M=10^6\,M_\odot$ 时的频率	占总功率
$1$	$3.693\,\mathrm{mHz}$	$23.1\,\%$
$2$	$4.587\,\mathrm{mHz}$	$30.5\,\%$
$3$	$5.482\,\mathrm{mHz}$	$21.5\,\%$
$4$	$6.376\,\mathrm{mHz}$	$10.7\,\%$

这个模型在 EMRI 波形里的位置

Babak 等人介绍了两类低成本模型。数值近似波形沿 Kerr 测地线运动，再套用平直空间的辐射公式，这一章做的就是这件事。他们做预测用的解析近似波形从开普勒轨道出发，用后牛顿规则加上进动和旋近，并分别在史瓦西 ISCO 和 Kerr ISCO 处截断，用两个版本框住建模误差。

我们的谱线频率对测地线是精确的。谱线功率的准确度取决于四极公式；上一章与 Teukolsky 计算对比，靠近黑洞时最多差约50%。默认轨道的谱线总和是同样 $p$ 、 $e$ 下 Peters–Mathews 值的0.834倍。这只是两种近似之比，说明不了哪一种更接近真实。

对应阅读：Babak et al. (2017) · Fujita & Tagoshi (2004)

偏心轨道的引力波为什么是一排谱线

转折点与第三个根

一个消掉转折点的参数

两个基本频率

为什么波是一把梳子

每条线的功率与两项检验

这个模型在 EMRI 波形里的位置

在实验室里试一试

读出梳子和它的偏移

练习与答案

一手来源，以及每篇读了哪些部分

继续阅读

实验

文章

小黑洞为大黑洞测绘