自转黑洞周围的轨道怎样进动，又在哪里失去稳定

坐标与约定

用 Boyer–Lindquist 半径 $r$ 和方位角 $\phi$ 。黑洞质量 $M=1$ ，自转 $a$ 满足 $|a|<1$ 。我们让 $a$ 带正负号：轨道和黑洞同向转取正，反向转取负。视界在 $r_+=1+\sqrt{1-a^2}$ 。

束缚轨道在近心点 $r_p$ 与远心点 $r_a$ 之间往返。用半通径 $p$ 和偏心率 $e$ 描述它，定义为 $r_p=p/(1+e)$ ， $r_a=p/(1-e)$ 。它们只是两个转折点的标签，离黑洞很远时才回到开普勒椭圆的参数。

对应阅读：Glampedakis & Kennefick (2002) · Abramowicz & Kluźniak (2004)

圆轨道

赤道面圆轨道上，远处看到的角频率、单位质量的能量和单位质量的角动量分别是

\Omega_\phi=\frac{1}{r^{3/2}+a},\qquad E=\frac{1-2/r+a\,r^{-3/2}}{\sqrt{1-3/r+2a\,r^{-3/2}}},\qquad L=\frac{\sqrt r\,\bigl(1-2a\,r^{-3/2}+a^2/r^2\bigr)}{\sqrt{1-3/r+2a\,r^{-3/2}}}

当

a=0

且

r

很大时，它们回到开普勒的

\Omega_\phi=r^{-3/2}

，以及

E\approx1-1/(2r)

，也就是静能加上牛顿束缚能。

对应阅读：Abramowicz & Kluźniak (2004)

径向频率与最后一条稳定轨道

把圆轨道轻轻往外推，它会在半径方向来回振荡，这个小振荡的角频率叫径向本轮频率 $\Omega_r$ 。Abramowicz 和 Kluźniak 用有效势的二阶导数求出它；在 Kerr 赤道面上它的形式很简洁。

当 $\Omega_r^2$ 穿过零，推一下的轨道就回不来了，圆轨道失稳。发生这件事的半径就是最内稳定圆轨道，记作 ISCO。 $a=0$ 时括号在 $r=6$ 处为零。

\Omega_r^2=\Omega_\phi^2\left(1-\frac{6}{r}+\frac{8a}{r^{3/2}}-\frac{3a^2}{r^2}\right)

我们把这个闭式与 Kerr 有效势的数值二阶导数相比，在检验过的各个自转和半径上，差别小于

2\times10^{-6}

。

自转 $a$	ISCO 半径 $r_{\rm isco}$	ISCO 处束缚能 $1-E$	$M=10^6\,M_\odot$ 时 ISCO 处引力波频率
$0.9$	$2.32$	$15.6\,\%$	$14.6\,\mathrm{mHz}$
$0$	$6$	$5.72\,\%$	$4.40\,\mathrm{mHz}$
$-0.9$	$8.72$	$3.90\,\%$	$2.60\,\mathrm{mHz}$

对应阅读：Abramowicz & Kluźniak (2004) · Barack & Pound (2019)

近心点前移多少

一个径向周期 $T_r=2\pi/\Omega_r$ 里，小天体扫过的方位角是 $\Delta\phi=\Omega_\phi T_r$ 。不进动的椭圆正好扫过 $2\pi$ ，多扫过的角度就是每个径向周期的近心点进动。

算一个例子。取 $a=0$ ，在 $r=10$ 处的近圆轨道。 $\Omega_\phi=10^{-3/2}=0.0316$ ， $\Omega_r=\Omega_\phi\sqrt{1-6/10}=0.0200$ 。两者之比为 $1.581$ ，所以近心点每圈前移 $360^\circ\times0.581=209^\circ$ 。水星的前移连千分之一度都远远不到。

离黑洞很远时把根号展开： $\Omega_\phi/\Omega_r\approx1+3/r$ ，于是 $\Delta\phi-2\pi\approx6\pi/r$ 。 $r=1000$ 时这是 $1.08^\circ$ ；实验室里 $p=1000, e=0.4$ 的精确偏心轨道值是 $1.085^\circ$ 。

\Delta\phi_{\rm peri}=2\pi\left(\frac{\Omega_\phi}{\Omega_r}-1\right)\;\xrightarrow{\;a=0,\ r\gg1\;}\;\frac{6\pi}{r}

对偏心轨道，只要按整条轨道算出两个频率，这个公式照样成立，第三章会算。

对应阅读：Abramowicz & Kluźniak (2004)

偏心轨道、分界轨道与急冲回旋

偏心轨道的能量、角动量和径向运动的第三个根，都由 $p$ 、 $e$ 、 $a$ 决定。Glampedakis 和 Kennefick 把角动量写成 $x=L-aE$ ，由关于 $x^2$ 的二次方程求出 $x^2$ 。稳定的束缚轨道要求 $x^2(1+e)(3-e)<p^2$ 。

这条边界 $p_s(e)$ 叫分界轨道。 $a=0$ 时 $p_s=6+2e$ ，所以 $e=0.6$ 的轨道必须 $p>7.2$ 。刚好在分界轨道外侧时，径向周期变得极长，小天体却一直在转， $\Delta\phi$ 就变得很大。 $a=0, e=0.4$ 、 $p=7$ 只比分界轨道高0.2，每圈前移 $783^\circ$ ，相当于在近心点附近多转两圈多。

自转会移动分界轨道。 $e=0.4$ 时， $a=0.7$ 的分界轨道在3.90， $a=-0.9$ 的在9.82。在 $p=12, e=0.4$ 处， $a=0.7$ 、 $0$ 、 $-0.7$ 的每圈前移分别是 $96^\circ$ 、 $151^\circ$ 、 $250^\circ$ 。

对应阅读：Glampedakis & Kennefick (2002)

在实验室里试一试

量出进动，找到分界轨道

把偏心率调到最小，自转为零， $p=10$ 。读出近心点进动，与上面的例子比较。
设 $e=0.6$ ，把橙色近心点手柄向内拖。到 $p=7.3$ 时出现提示，这里比分界轨道高十分之一。
轨道不动，改变自转，看进动读数和粉色 ISCO 圈一起变化。

实验室让轨道始终离分界轨道至少十分之一，保证径向周期有限。

练习与答案

证明

a=0

时径向频率的括号在

r=6

处为零，并求那里的圆轨道能量。

$a=0$ 时括号是 $1-6/r$ ，在 $r=6$ 处为零。此时 $E=(1-1/3)/\sqrt{1-1/2}=\sqrt{8/9}=0.9428$ 。到达 ISCO 时，小天体已经辐射掉静能的 $1-E=5.72\,\%$ 。

a=0

时，圆轨道半径多大，近心点每个径向周期正好多转一整圈？

要求 $\Omega_\phi/\Omega_r=2$ ，即 $1/\sqrt{1-6/r}=2$ ， $1-6/r=1/4$ ，得 $r=8$ 。在 $r=8$ 以内，轨道每个径向周期多转一圈以上。

为什么逆着自转的轨道，最内稳定圆轨道更大？

$a<0$ 时括号里的 $8a/r^{3/2}$ 为负，括号要在更大的 $r$ 处才降到零。物理上，参考系拖曳与轨道运动方向相反，轨道需要更大的空间才能保持稳定。 $a=-0.9$ 时 ISCO 在 $8.72$ 。

一手来源，以及每篇读了哪些部分

Barack & Pound (2019), Self-force and radiation reaction in general relativity, Rep. Prog. Phys., doi:10.1088/1361-6633/aae552
arXiv 第2版，2018年11月19日。第5.2节与式(72)至(74)：双时间尺度相位展开，以及绝热阶与后绝热阶各需要什么；第5.3节瞬时共振；第6.1节与式(77)至(78)，按轨道平均的平衡律，包括为负的视界能流。
Glampedakis & Kennefick (2002), Zoom and whirl: eccentric equatorial orbits around spinning black holes and their evolution under gravitational radiation reaction, Phys. Rev. D 66, 044002
arXiv 第1版。第二节式1至24：用 p、e 表示的赤道测地线常数，关于 L − aE 的四次方程，以及分界条件；附录A。周期的积分式没有沿用文中印刷形式，我们另行推导并做了数值检验。
Abramowicz & Kluźniak (2004), Epicyclic frequencies derived from the effective potential: simple and practical formulae, arXiv:astro-ph/0411709, Astrophys. Space Sci. doi:10.1007/s10509-005-1173-z
arXiv 第1版。式20至34：稳态轴对称度规中圆轨道的角速度、能量与角动量，以及由有效势得到的径向和垂直本轮频率。

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