宇宙弦的环与引力波背景

一条极细的时空缺陷，为什么可能影响整片引力波频谱？ 弦网络在每个时代都会切下弦环。弦环一边振动一边发出引力波，频率由它的大小决定，环也随之慢慢变小。越早的环越小，它的波后来又被宇宙膨胀拉长；一代代弦环叠起来，信号就从脉冲星计时的频段一直铺到地面探测器。

拖动弦环诞生时的大小，改变弦的张力。看弦环一边辐射一边缩小，再看由同一群弦环叠出的背景频谱。

弦环寿命 / 诞生时刻 $2\times10^{7}\,t_{\mathrm{i}}$

h^2\Omega_{\mathrm{gw}}

在

1\,\mathrm{yr}^{-1}

$1.07\times10^{-9}$

h^2\Omega_{\mathrm{gw}}

在

3\,\mathrm{mHz}

$4.57\times10^{-10}$

h^2\Omega_{\mathrm{gw}}

在

25\,\mathrm{Hz}

$4.46\times10^{-10}$

模型假设

弦环族群采用Auclair等人2020年为LISA研究宇宙弦时使用的单尺度Nambu–Goto模型：每个弦环都在宇宙年龄的同一固定比例上诞生；产生率包含原文为真实诞生尺寸分布而设的十分之一效率因子；每个环辐射的功率是张力平方的五十倍，长度匀速缩短。辐射期和物质期的弦环密度取自原文；两个时期之间按辐射在总能量密度中所占比例混合，这是教学上的选择。背景把谐波一直加到第十万阶，尖点情形下功率按阶数的三分之四次方衰减，折角情形按三分之五次方衰减。膨胀历史取平直的Lambda-CDM，参数与Auclair等人所列相同，粒子种类数保持不变；他们的图4表明，标准模型中粒子种类数随温度变化，会改变频谱的高频部分。网络假定从红移十的二十六次方起就进入标度演化。降低重联概率时，整条频谱除以这个概率，这是NANOGrav处理超弦时用的简单换算。探测器只标出频段，不是灵敏度曲线。舞台是示意图：弦环尺寸未按比例，振荡也放慢了。

今天的背景频谱

辐射期深处存活的弦环

听到的波是何时发出的

每条曲线是什么

紫色曲线：模型输出，由驱动舞台的同一群弦环在浏览器里积分得到，不是测量数据。
虚线：理想参考，即已发表的辐射期平台公式。它单独计算，从不拟合到曲线上。
阴影频段：脉冲星计时阵列、LISA和地面探测器的频率范围。它们不是灵敏度曲线，也不含观测到的信号。
弦环尺寸图：单位体积弦环数乘以宇宙年龄的四次方。金线是诞生尺寸；虚线是一个宇宙年龄内弦环缩短的长度。
发射时期图：每条曲线都归一到峰值为一，两条曲线的高度不能互相比较。

一代代缩小的弦环，叠成一条宽频谱

背景宇宙弦是一条困住场能量的细线。早期宇宙若经历过某种对称性破缺的相变，就可能留下它。长弦相交时会重新接合，切出闭合的弦环。弦环振荡、辐射引力波，越缩越小，直到消失。

为什么值得理解一个弦环发出的音高由它的长度决定。网络在每个时代都在切出弦环，膨胀又把每个时代的波拉长不同的倍数，叠起来便铺开许多个数量级的频率。

核心问题: 为什么张力变小时，背景变弱，而且开始抬升的频率往高处移？
一句话直觉: 张力同时决定每个弦环有多亮、能活多久；活得久的弦环会越积越多，晚期才辐射，信号落在低频。

核心数学模型

弦环匀速缩短

\ell(t)=\alpha t_{\mathrm i}-\Gamma G\mu\,(t-t_{\mathrm i}),\qquad \frac{\tau}{t_{\mathrm i}}=\frac{\alpha}{\Gamma G\mu}

在时刻 $t_{\mathrm i}$ 诞生、长度为 $\alpha t_{\mathrm i}$ 的弦环，以固定功率 $\Gamma G\mu^2 c$ 损失能量，这里 $\Gamma=50$ 。寿命读数就是这个比值；辐射掉的总能量等于弦环的静能。

每个弦环按自身长度发出谐波

f_{\mathrm{emit}}=\frac{2n}{\ell},\qquad f=\frac{f_{\mathrm{emit}}}{1+z},\qquad P_n\propto n^{-q}

第 $n$ 阶谐波分到的功率按 $n^{-4/3}$ 衰减（尖点），折角则按 $n^{-5/3}$ 衰减。膨胀让观测频率等于发射频率除以发射时的 1 + 红移。

背景由同一群弦环积分得到

\Omega_{\mathrm{gw}}(f)=\frac{8\pi(G\mu)^2}{3H_0^2}\,f\sum_{n}\Gamma P_n\,C_n(f),\qquad C_n(f)=\frac{2n}{f^2}\int_0^{z_\ast}\frac{\mathrm dz}{H(z)(1+z)^6}\,\mathsf n\!\left(\frac{2n}{(1+z)f},\,t(z)\right)

$\mathsf n(\ell,t)$ 是单位体积、单位长度内的弦环数，也就是弦环尺寸图里的曲线。Lab 对每个频率计算这个红移积分；另一种按每批弦环逐一记账能量的方法，与它相差不到百分之一。

辐射期平台

h^2\Omega_{\mathrm{plateau}}=\frac{128\pi}{9}A_{\mathrm r}\,\Omega_{\mathrm r}h^2\,\frac{G\mu}{\epsilon}\left[(1+\epsilon)^{3/2}-1\right],\qquad \epsilon=\frac{\alpha}{\Gamma G\mu}

这是 Auclair 等人（2020）的式 6.1，取 $A_{\mathrm r}=0.54$ ，图中虚线就是它。大弦环时，平台随 $\sqrt{G\mu}$ 增长。它只描述高频的平坦部分。

常见难点

自由拟合一条频谱，不等于发现了宇宙弦

容易误解只要弦的曲线能穿过脉冲星计时的信号，信号就来自宇宙弦。

正确理解超大质量黑洞双星在这个频段同样会产生背景。NANOGrav 15 年数据的分析里，稳定宇宙弦模型相对黑洞双星模型的贝叶斯因子约为 0.28 到 0.38，数据更偏向双星。Lab 画的是模型曲线和频段，不是测量数据。

张力变小，并不是整条曲线平移

容易误解张力减半，各个频率的背景都减半。

正确理解平台只按 $\sqrt{G\mu}$ 下降：轻的弦环辐射更弱，却活得更久、积累更多。它们最后在低频的辐射移出了脉冲星计时的频段，所以低频部分下降得快得多。

动手实验

01
先看默认的弦环
让默认状态运行。看弦环上一闪一闪的亮点，对照舞台上的长度读数和寿命读数。
你会看到： 每次振荡有两个尖点闪亮并发出环状波纹。弦环稳定地缩小；下方的频谱在脉冲星计时频段抬升，然后进入平台。
02
拖动弦环大小
在视界圆内向中心拖动，再选“弦环生来就小”。
你会看到： 小弦环只能活大约两倍于诞生时刻的时间。平台下降约两千倍，虚线公式依然贴着曲线。
03
降低张力
选“微弱，只在高频”，对照默认情形看发射时期图。
你会看到： 脉冲星计时的读数骤降，3 mHz 的读数降得少得多。3 mHz 的信号来自更早时期辐射的弦环。

来源与模型范围

弦环族群、谐波功率和平台公式依据 Auclair 等人（2020）第3至6节。超弦的换算和稳定宇宙弦与脉冲星计时数据的比较，依据 NANOGrav 15 年新物理论文第5.4节。Lab 的频谱由一个独立的 Python 脚本重新计算，脚本保存了输入、输出和失败案例。

读宇宙弦课程：从一条细缺陷到一整段频谱