复算宇宙弦背景的辐射期平台

请先读从弦环族群到背景频谱，这里用到的每个公式都在那里推导过。论文是Auclair等，2020，arXiv第1版，正式发表于JCAP 04 (2020) 034。

取得材料并运行

下载脚本、输入和保存的输出并解压。压缩包里有六个Python文件、三个保存好的JSON文件和一份简短的README。脚本只用Python标准库。保存的那次运行使用Python 3.9.6，耗时37.4秒。

cd cosmic-string-background/scripts
python3 reproduce_benchmarks.py ../my-run

运行会在指定文件夹里写出inputs.json、outputs.json和failure-cases.json。把它们与压缩包benchmarks文件夹里保存的副本对比；同样的文件也可以直接打开：输入、输出和失败案例。请在scripts文件夹里运行命令，主脚本要从那里导入另外五个文件。

固定输入与单位

时间和长度都以 $1/H_0$ 为单位，取 $c=1$；频率用赫兹；密度报告为 $h^2\Omega_{\mathrm{gw}}$。固定的输入如下：

模型按 $\rho_{\mathrm r}/(\rho_{\mathrm r}+\rho_{\mathrm m})$ 对辐射期和物质期的弦环振幅与诞生尺寸做线性混合。这是教学取舍。论文则在转变期间求解单尺度方程，所以凡是依赖这段转变的结果，都只是这个模型自己的性质。NANOGrav合作组，2023，第5.4节描述了同一类模型I，取 $\alpha_{\mathrm L}\simeq0.37$、$F=0.1$。

通往同一频谱的两条独立路线

第一条路线是式4.4和4.5的红移积分。它在 $u=\ln(1+z)$ 上用辛普森法则、分800段计算 $C_1$，从今天一直积到能在该频率辐射的弦环的诞生边界。这条路线用到弦环密度 $\mathsf n(\ell,t)$ 及其雅可比因子。

第二条路线从不构造弦环密度。它从诞生起跟踪一批批弦环，让每个弦环以 $\Gamma G\mu$ 的速率缩短，把它在基频上辐射的能量红移后存进对数频率格子，最后除以今天的临界密度。第一条路线里雅可比因子或 $(1+z)$ 幂次的错误，不会出现在第二条路线里。

from loop_population import LoopPopulation
from background_by_redshift_integral import fundamental_only_density
import string_cosmology as cosmology

table = cosmology.CosmicTimeTable()
loops = LoopPopulation(table, 1e-10, 0.1)
print(fundamental_only_density(loops, 1e4))

输出约为 $4.537\times10^{-10}$，即 $G\mu=10^{-10}$、$\alpha=0.1$ 时的基频平台。

复算得到了什么

对基于模拟的弦环密度（式3.18与3.19）做纯辐射期积分，得到平台系数8.0425；论文式5.2印的是8.04。同一积分的解析计算也给出8.0425。

在 $10^4\,\mathrm{Hz}$ 处，式6.1与数值基频平台的差别，在25个情形中的24个里不超过 $0.06\,\%$。这些情形覆盖 $G\mu=10^{-8}$ 到 $10^{-17}$，弦环大小从 $0.1$ 一直到 $10^{-3}\,\Gamma G\mu$。唯一的例外是 $G\mu=10^{-17}$、$\alpha=5\times10^{-19}$，低了 $4.6\,\%$。这时在 $10^4\,\mathrm{Hz}$ 处听到的弦环，只能在 $1+z$ 小于约 $6\times10^4$ 时辐射，已接近物质辐射相等时刻 $z\approx3366$，所以这个频率还没有深入辐射期平台。

在 $G\mu=10^{-10}$ 和 $10^{-17}$ 两种情形下，从 $1.1\times10^{-12}$ 到 $4\times10^{3}\,\mathrm{Hz}$ 的27个频率上，分批跟踪的直方图与红移积分相差不超过 $0.9\,\%$。不经过频谱、直接累加每批弦环辐射的全部能量，与频谱对频率的积分相差 $0.3\,\%$，两种张力都是如此。

张力趋于零时，从 $G\mu=10^{-12}$ 到 $10^{-16}$，平台除以 $\sqrt{G\mu}$ 一直是 $4.537\times10^{-5}$。到 $10^{-18}$ 和 $10^{-20}$，这个比值升到 $4.549\times10^{-5}$ 和 $5.16\times10^{-5}$：张力越低，频谱进入平台的频率越高，$10^4\,\mathrm{Hz}$ 已不在平台上。每年一周处，小张力下背景按 $(G\mu)^2$ 下降，$G\mu=10^{-20}$ 时为 $8.0\times10^{-27}$。背景随张力一起趋于零，理应如此。

模型复现不出的两个印刷数值

式6.1和式6.2把前置系数 $(128\pi/9)A_{\mathrm r}\Omega_{\mathrm r}h^2$ 印成约 $1.02\times10^{-2}$。用论文自己的输入，它是 $1.0146\times10^{-3}$，小了 $10.05$ 倍。式6.5也有同样的十倍之差。符号表达式与式5.2以及两条数值路线都一致，所以脚本用符号表达式。脚本不修改论文；这处出入作为未解决问题记在outputs.json的printedPlateauCoefficient下。

第6.1节在图8之后的正文里，给出 $G\mu=10^{-17}$ 时的平台约为 $h^2\Omega\approx6.04\times10^{-14}$。粒子种类数不变时，式5.2给出 $1.51\times10^{-13}$，引用值只是它的0.40倍。论文图4显示，标准模型里粒子种类数的变化会改变频谱的高频部分，这也许能解释部分差别。在算出这个效应之前，这条陈述记为未解决，也不作修正。

四种会算错的做法

保存的failure-cases.json记录了四种错误及其大小。

1. 漏掉雅可比因子：在 $\alpha=\Gamma G\mu$ 时用 $1/\alpha$ 代替 $\mathrm dt_{\mathrm i}/\mathrm d\ell$，平台翻倍，比值为2.000。
2. 在 $G\mu=10^{-10}$、每年一周处套用平台公式，会把基频背景低估2.43倍。
3. 只加 $10^5$ 阶尖点谐波，却假定 $\sum P_n=\Gamma$，会漏掉 $1.79\,\%$ 的功率。
4. 让网络从 $z=10^{10}$ 而不是 $10^{26}$ 开始，会去掉高频平台：在 $1\,\mathrm{Hz}$ 处，结果从 $4.54\times10^{-10}$ 降到 $2.6\times10^{-14}$。

这次复算能说明什么，不能说明什么

复算说明一个模型前后自洽：它的弦环密度、频谱和能量收支彼此吻合，也与两个已发表的解析式吻合。它不检验宇宙弦是否存在、模型I是否描述得了它们，也不检验粒子种类数不变是否是好的近似。它没有拟合任何数据。要与脉冲星计时结果比较，需要读懂脉冲星计时与LISA对宇宙弦的结论里介绍的完整似然分析。