从弦环族群到背景频谱

这一章用到前两章的结果：宇宙弦的张力衡量什么和弦环怎样辐射并缩小。需要会用狄拉克δ函数、积分换元，并知道辐射期 $a\propto t^{1/2}$ 、 $H=1/(2t)$ 。取 $c=1$ ；出现数值时，时间以 $1/H_0$ 为单位。

数清每种长度的弦环

把单位体积、单位时间诞生的弦环数记为 $R(t_{\mathrm i})$ 。在模型I里，每个弦环诞生时长度都是 $\alpha t_{\mathrm i}$ ，诞生率为

R(t_{\mathrm i})=\frac{A}{\alpha\,t_{\mathrm i}^{4}},\qquad A_{\mathrm r}=\frac{F}{f_{\mathrm r}}\,\frac{\tilde c\,\bar v_{\mathrm r}}{\xi_{\mathrm r}^{3}}=0.54 .

其中切割效率 $\tilde c=0.23$ ； $\bar v_{\mathrm r}=0.662$ 和 $\xi_{\mathrm r}=0.271$ 描述长弦； $f_{\mathrm r}=\sqrt2$ 扣除进入弦环整体运动的能量； $F=0.1$ 计入真实诞生尺寸的弥散。Auclair等，2020，第3.1节，式3.12至3.16

在 $t$ 时刻看到的长度为 $\ell$ 的弦环，诞生时刻满足 $\alpha t_{\mathrm i}-\Gamma G\mu\,(t-t_{\mathrm i})=\ell$ ：

t_{\mathrm i}=\frac{\ell+\Gamma G\mu\,t}{\alpha+\Gamma G\mu},\qquad \frac{\mathrm dt_{\mathrm i}}{\mathrm d\ell}=\frac{1}{\alpha+\Gamma G\mu}.

在 $\mathrm dt_{\mathrm i}$ 内诞生的弦环，到 $t$ 时刻占据长度区间 $\mathrm d\ell=(\alpha+\Gamma G\mu)\,\mathrm dt_{\mathrm i}$ ，数密度被稀释了 $(a_{\mathrm i}/a)^3$ 倍。于是

\mathsf n(\ell,t)=\frac{R(t_{\mathrm i})}{\alpha+\Gamma G\mu}\left(\frac{a(t_{\mathrm i})}{a(t)}\right)^{3}.

辐射期 $(a_{\mathrm i}/a)^3=(t_{\mathrm i}/t)^{3/2}$ 。代入 $t_{\mathrm i}$ ，记 $x=\ell/t$ ，得到

\mathsf n(\ell,t)=t^{-4}\,\frac{A_{\mathrm r}\,(\alpha+\Gamma G\mu)^{3/2}}{\alpha\,(x+\Gamma G\mu)^{5/2}},\qquad x\le\alpha ,

这就是Auclair等人的式3.16。NANOGrav把同一个密度写成适用于任何时期的形式，雅可比因子里多出一项 $\dot\alpha_\ast t_\ast$ ，用来处理诞生尺寸随时间变化的情形。NANOGrav合作组，2023，第5.4节，式43与44

例题：0.54从哪里来

$F/f_{\mathrm r}=0.1/1.414=0.0707$ ， $\tilde c\,\bar v_{\mathrm r}/\xi_{\mathrm r}^3=0.23\times0.662/0.0199=7.65$ ，乘积是 $0.541$ ，就是文中的 $A_{\mathrm r}=0.54$ 。如果漏掉雅可比因子，用 $1/\alpha$ 代替 $1/(\alpha+\Gamma G\mu)$ ，在 $\alpha=\Gamma G\mu$ 时密度正好多出一倍；方法章节保存的失败案例记录了这一点。

把辐射加起来

$t$ 时刻长度为 $\ell$ 的弦环，在频率 $2n/\ell$ 上发出功率 $G\mu^2P_n$ ，到今天频率变成 $f=2n/[(1+z)\ell]$ 。引力波能量按 $(1+z)^{-4}$ 稀释，频率区间被拉宽 $(1+z)$ 倍。所以今天单位频率的能量密度是

\frac{\mathrm d\rho_{\mathrm{gw}}}{\mathrm df}=G\mu^2\sum_n P_n\int\mathrm dt\,(1+z)^{-3}\int\mathrm d\ell\;\mathsf n(\ell,t)\,\delta\!\left(f(1+z)-\frac{2n}{\ell}\right).

δ函数选出 $\ell_n=2n/[(1+z)f]$ ，权重为 $\ell_n^2/(2n)$ 。利用 $\mathrm dt=\mathrm dz/[(1+z)H]$ 和 $\Omega_{\mathrm{gw}}=(8\pi G/3H_0^2)\,f\,\mathrm d\rho_{\mathrm{gw}}/\mathrm df$ ，

\Omega_{\mathrm{gw}}(f)=\frac{8\pi(G\mu)^2}{3H_0^2}\,f\sum_n P_n\,C_n(f),\qquad C_n(f)=\frac{2n}{f^2}\int_0^{z_\ast}\frac{\mathrm dz}{H(z)\,(1+z)^6}\,\mathsf n\!\left(\frac{2n}{(1+z)f},t(z)\right),

这是Auclair等人的式4.4和4.5。Auclair等，2020，第4.1节由于 $C_n(f)=C_1(f/n)/n$ ，算好基频 $C_1$ 的一张表，就能得到每一阶谐波。

辐射期平台

高频处，积分由辐射期的弦环主导，那时 $H=H_0\sqrt{\Omega_{\mathrm r}}\,(1+z)^2$ ， $t=1/(2H)$ 。把积分变量从 $z$ 换成 $x=\ell_n/t$ ：

x=\frac{4nH_0\sqrt{\Omega_{\mathrm r}}\,(1+z)}{f},\qquad t^{-4}=16H_0^4\Omega_{\mathrm r}^2(1+z)^8 .

$(1+z)$ 的幂次全部消掉， $C_n(f)=(8H_0^2\Omega_{\mathrm r}/f)\int\mathsf n_{\mathrm r}(x)\,\mathrm dx$ 。因子 $f$ 也消掉了：频谱是平的。对各阶求和 $\sum_nP_n=\Gamma$ ，并把 $\mathsf n_{\mathrm r}$ 从 $0$ 积到 $\alpha$ ，

\int_0^\alpha\mathsf n_{\mathrm r}\,\mathrm dx=\frac{2A_{\mathrm r}}{3\alpha}\left[(1+\epsilon)^{3/2}-1\right],\qquad \epsilon=\frac{\alpha}{\Gamma G\mu},

h^2\Omega_{\mathrm{plateau}}=\frac{128\pi}{9}\,A_{\mathrm r}\,\Omega_{\mathrm r}h^2\,\frac{G\mu}{\epsilon}\left[(1+\epsilon)^{3/2}-1\right].

这就是式6.1。弦环较大，即 $\epsilon\gg1$ 时，它变成 $(128\pi/9)A_{\mathrm r}\Omega_{\mathrm r}h^2\sqrt{G\mu\,\alpha/\Gamma}$ 。Auclair等，2020，第6.2.1节

例题：Lab默认状态的平台

取 $\Omega_{\mathrm r}=9.1476\times10^{-5}$ 、 $h=0.678$ ，前置系数是 $(128\pi/9)\times0.54\times4.205\times10^{-5}=1.015\times10^{-3}$ 。 $G\mu=10^{-10}$ 、 $\alpha=0.1$ 时， $\sqrt{G\mu\,\alpha/\Gamma}=4.47\times10^{-7}$ ，所以 $h^2\Omega_{\mathrm{plateau}}=4.54\times10^{-10}$ 。Lab在 $25\,\mathrm{Hz}$ 处的谐波求和读数是 $4.46\times10^{-10}$ ，低出的部分正是第 $10^5$ 阶以上尖点谐波的 $1.8\,\%$ 功率。论文把这个系数印成约 $1.02\times10^{-2}$ ，是它自己的符号表达式给出值的十倍；方法章节把这一点记为未解决的出入，计算时用符号表达式。

平台公式在哪里失效

平台公式假定，贡献信号的弦环在整个寿命里都处在辐射期。低频处，信号来自物质期才完成辐射的大弦环，频谱抬升成一个鼓包，公式就不再成立。 $G\mu=10^{-10}$ 时，每年一周处数值计算的基频频谱是平台公式的 $2.43$ 倍。Lab按辐射在能量密度中所占份额，把辐射期和物质期的弦环密度混合起来，这是教学上的取舍；Auclair等人则在转变期间求解单尺度模型。

Lab任务

在宇宙弦Lab里，盯着虚线平台，把弦环大小从默认值一直拖到最小。无论大小如何，高频处虚线都贴着曲线。然后选“弦环生来就小”，把平台与练习3的小弦环极限对比。

练习

按同样的步骤，用 $a\propto t^{2/3}$ 推出物质期的密度 $\mathsf n_{\mathrm m}$ 。
$\alpha$ 固定时，从 $G\mu=10^{-10}$ 到 $G\mu=10^{-16}$ ，大弦环平台变化多少倍？
证明 $\epsilon\ll1$ 时平台不再依赖 $\alpha$ ，并计算 $G\mu=10^{-10}$ 时的值。
Lab的“弦环生来就小”预设取 $\alpha=10^{-8}$ 、 $G\mu=10^{-10}$ 。用式6.1计算平台，并与Lab在 $25\,\mathrm{Hz}$ 处的读数 $2.09\times10^{-13}$ 比较。

答案

$(a_{\mathrm i}/a)^3=(t_{\mathrm i}/t)^2$ ，所以 $\mathsf n=A_{\mathrm m}t_{\mathrm i}^{-2}t^{-2}/[\alpha_{\mathrm m}(\alpha_{\mathrm m}+\Gamma G\mu)]$ 。代入 $t_{\mathrm i}$ 得 $\mathsf n_{\mathrm m}=t^{-4}A_{\mathrm m}(\alpha_{\mathrm m}+\Gamma G\mu)/[\alpha_{\mathrm m}(x+\Gamma G\mu)^2]$ ，即论文的式3.17，其中 $A_{\mathrm m}=0.039$ 。
平台按 $\sqrt{G\mu}$ 变化，下降 $\sqrt{10^6}=1000$ 倍：从 $4.54\times10^{-10}$ 降到 $4.54\times10^{-13}$ 。在Lab里，两种张力之间虚线平台下降三个数量级。
$(1+\epsilon)^{3/2}-1\approx3\epsilon/2$ ，所以 $h^2\Omega_{\mathrm{plateau}}\approx(64\pi/3)A_{\mathrm r}\Omega_{\mathrm r}h^2\,G\mu$ 。几乎一诞生就消失的弦环，不论大小，都把全部能量一次放完。 $G\mu=10^{-10}$ 时为 $1.52\times10^{-13}$ 。论文式6.5把系数印成 $1.52\times10^{-2}$ ，同样是符号值的十倍。
$\epsilon=10^{-8}/(5\times10^{-9})=2$ ， $1.015\times10^{-3}\times(10^{-10}/2)\times(3^{3/2}-1)=2.13\times10^{-13}$ 。扣掉被截断的 $1.8\,\%$ 尖点功率，得 $2.09\times10^{-13}$ ，与Lab一致。 $\epsilon=2$ 时练习3的两个极限都不适用。