弦环怎样辐射并缩小

这一章接着上一章宇宙弦的张力衡量什么。需要用到矢量、导数和几何级数。取 $c=1$ ，并把弦环放在平直时空里；只要弦环比宇宙诞生以来光走过的距离小得多，这就是好的近似。

弦环是球面上的两条曲线

选取合适的规范后，平直时空中Nambu–Goto方程的通解是一个左行波与一个右行波之和：

\boldsymbol X(\sigma,t)=\frac12\left[\boldsymbol X_-(\sigma_-)+\boldsymbol X_+(\sigma_+)\right],\qquad \sigma_\pm=t\pm\sigma,\qquad |\boldsymbol X_\pm'|=1 .

对不变长度为 $\ell$ 的弦环，两个函数都以 $\ell$ 为周期。它们的导数是单位矢量， $\sigma_\pm$ 走完一个周期，导数就在单位球面上画出一条闭合曲线。弦环质心静止，所以每条曲线的平均值为零。Auclair等，2020，附录A.1

求导得到弦的速度和切向：

\partial_t\boldsymbol X=\frac12\left(\boldsymbol X_-'+\boldsymbol X_+'\right),\qquad \partial_\sigma\boldsymbol X=\frac12\left(\boldsymbol X_+'-\boldsymbol X_-'\right).

固定 $\sigma$ ，经过 $\ell/2$ 的时间， $\sigma_-$ 和 $\sigma_+$ 各移动 $\ell/2$ ，两者合起来让弦环回到原样。所以周期 $T=\ell/2$ ，辐射的谐波是

f_n=\frac{n}{T}=\frac{2n}{\ell},\qquad n=1,2,3,\ldots

尖点：两条曲线的交点

球面上两条平均值都为零的闭合曲线，一般会相交。交点处 $\boldsymbol X_-'=\boldsymbol X_+'$ ，切向 $\partial_\sigma\boldsymbol X$ 为零，速度 $|\partial_t\boldsymbol X|$ 等于一：弦在这里折回自身，以光速运动。这就是尖点。折角则是两个导数之一的跳变，是弦重联时留下的。

例题：Lab里画的弦环

Lab画的是Kibble–Turok弦环，取 $\boldsymbol X_-'(u)=(\cos u,\sin u,0)$ 、 $\boldsymbol X_+'(v)=(\cos v,\cos\psi\sin v,\sin\psi\sin v)$ ，其中 $\psi=1.05$ 。两条曲线都是大圆：第一条在水平面内，第二条所在平面绕第一根坐标轴倾斜了 $\psi$ ，所以它们交于 $\pm(1,0,0)$ 。每个交点每个周期出现一次，于是每次振荡有两个尖点，沿这根轴朝相反方向运动。在这组单位里 $\ell=2\pi$ 、 $T=\pi$ 。在交点处直接数值计算 $|\partial_t\boldsymbol X|$ ，得到1.0000。

尖点的辐射是定向的。第 $n$ 阶谐波的爆发集中在尖点运动方向周围、张角约为 $\theta_{\mathrm b}\approx[2/(\sqrt3\,n)]^{1/3}$ 的锥里。Auclair等，2020，附录A.2

功率怎样分到各阶谐波

对网络里的弦环取平均后，第 $n$ 阶谐波分到的功率用幂律来描述：

P_n=\frac{\Gamma}{\zeta(q)}\,n^{-q},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}P_n=\Gamma,

尖点取 $q=4/3$ ，折角取 $5/3$ ，折角相撞取 $2$ 。黎曼zeta函数 $\zeta(q)$ 保证各份加起来等于 $\Gamma$ 。对真实弦环的模拟发现，总功率高度集中在 $\Gamma\approx50$ 附近。Auclair等，2020，第4.1节

例题：低次谐波分到多少功率

$\zeta(4/3)=3.601$ ， $\zeta(5/3)=2.124$ 。基频分到 $1/\zeta(q)$ ：尖点是 $27.8\,\%$ ，折角是 $47.1\,\%$ 。级数前十项加起来，尖点是 $62.0\,\%$ ，折角是 $85.3\,\%$ 。带折角的弦环把更多能量放在最低的几个音上。

计算机求和总要在某处停下。尖点谐波加到第 $10^5$ 阶，保留 $98.2\,\%$ 的功率，漏掉 $1.8\,\%$ ；折角的前 $10^5$ 项保留 $99.967\,\%$ 。NANOGrav的分析同样只加到第 $10^5$ 阶。NANOGrav合作组，2023，第5.4节

匀速缩短，寿命有限

功率 $\Gamma G\mu^2$ 里没有长度。由能量守恒 $\mathrm d(\mu\ell)/\mathrm dt=-\Gamma G\mu^2$ 得到

\frac{\mathrm d\ell}{\mathrm dt}=-\Gamma G\mu,\qquad \ell(t)=\ell_{\mathrm i}-\Gamma G\mu\,(t-t_{\mathrm i}),\qquad \tau=\frac{\ell_{\mathrm i}}{\Gamma G\mu}.

把功率对寿命积分，得到 $\Gamma G\mu^2\tau=\mu\ell_{\mathrm i}$ ：全部静能都以引力波的形式离开。弦环缩小时，各阶谐波的频率升高，小弦环越唱越高，直到消失。

例题：宇宙诞生一秒时出生的弦环

取 $\alpha=0.1$ ，弦环诞生时长 $0.1$ 光秒，即 $3.0\times10^{7}\,\mathrm m$ ，发射时的基频为 $2c/\ell=20\,\mathrm{Hz}$ 。在本课程使用的平直、粒子种类数不变的模型里，宇宙一秒大时对应 $1+z=4.88\times10^{9}$ 。这列波今天到达时的频率是 $20\,\mathrm{Hz}/4.88\times10^{9}=4.1\times10^{-9}\,\mathrm{Hz}$ ，正落在脉冲星计时的频段里。若 $G\mu=10^{-10}$ ，弦环能活 $2\times10^{7}\,\mathrm s$ ，约八个月，所以它几乎是在诞生时的红移上完成辐射的。

Lab任务

在宇宙弦Lab里保持默认状态，看每个周期两个尖点朝相反方向闪亮。然后勾选“用折角代替尖点”。高频平台的读数几乎不变，因为平台只取决于总功率 $\Gamma$ ，与功率怎样分配无关；每年一周处的读数会变，因为那里大弦环的低次谐波起作用。

练习

求一光年长的弦环发射时的基频。
第 $n=10^{5}$ 阶谐波的尖点定向张角是多少？
证明：在 $t_{\mathrm i}$ 时刻以 $\ell_{\mathrm i}=\alpha t_{\mathrm i}$ 诞生的弦环，寿命是诞生时刻的 $\alpha/(\Gamma G\mu)$ 倍。
把基频分到的功率加倍，为什么弦环辐射的总能量不变？

答案

$f_1=2c/\ell=2/(1\,\mathrm{yr})=6.3\times10^{-8}\,\mathrm{Hz}$ 。
$\theta_{\mathrm b}\approx[2/(1.732\times10^{5})]^{1/3}=0.0226\,\mathrm{rad}$ ，约 $1.3^\circ$ 。 $n=10^3$ 时锥宽约 $6^\circ$ ，谐波越高，定向越集中。
$\tau/t_{\mathrm i}=\ell_{\mathrm i}/(\Gamma G\mu\,t_{\mathrm i})=\alpha/(\Gamma G\mu)$ 。取 $\alpha=0.1$ 、 $\Gamma=50$ ，结果是 $0.002/G\mu$ 。
总功率固定为 $\Gamma G\mu^2$ ，寿命固定为 $\mu\ell_{\mathrm i}/(\Gamma G\mu^2)$ ，辐射的总能量始终是 $\mu\ell_{\mathrm i}$ 。改变 $q$ 只是在各阶谐波之间挪动这份能量。