宇宙弦的张力衡量什么

阅读这一章，需要会用十的幂次，知道密度的意思，也知道哈勃参数 $H$ 表示宇宙膨胀的相对速率。从下一节起取 $c=1$ ，这个数就简写为 $G\mu$ 。

单位长度的质量与张力

Nambu–Goto弦是一种理想化：弦细到只剩长度有意义。在 $c=1$ 的单位里，它单位长度的能量 $\mu$ 与张力相等。如果宇宙弦来自场论， $\mu$ 约为 $\eta^2$ ， $\eta$ 是产生它的那次相变的能量尺度；弦的粗细约为 $1/\eta$ ，比这里关心的任何尺度都小得多。Auclair等，2020，第1节

要恢复单位，把这个无量纲数除以 $G/c^2$ ：

\mu=G\mu\,\frac{c^2}{G},\qquad \frac{c^2}{G}=\frac{(2.998\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}})^2}{6.674\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}}=1.347\times10^{27}\,\mathrm{kg\,m^{-1}}.

例题：张力为十的负十次方的弦有多重

代入 $G\mu=10^{-10}$ ，得 $\mu=1.35\times10^{17}\,\mathrm{kg\,m^{-1}}$ 。地球质量是 $5.97\times10^{24}\,\mathrm{kg}$ ，只够填满这种弦的 $4.4\times10^{7}\,\mathrm m$ ，也就是约四万四千千米，比赤道略长。

为什么一个无量纲数就管住了引力

宇宙弦的每一种引力效应，都同时含有牛顿常数和 $\mu$ ，能出现在无量纲结果里的组合只有 $G\mu$ 。一个弦环辐射引力波的功率是 $\Gamma G\mu^2$ ，纯数 $\Gamma$ 取决于弦环形状，对真实的弦环约为50。再除以弦环的静能 $\mu\ell$ ，相对损失率就正比于 $G\mu$ 。Auclair等，2020，第3节

它与粒子物理的联系是

G\mu\sim10^{-6}\left(\frac{\eta}{10^{16}\,\mathrm{GeV}}\right)^2 .

如果宇宙弦来自大统一能标，也就是 $10^{16}\,\mathrm{GeV}$ 附近， $G\mu$ 就在 $10^{-6}$ 上下。宇宙微波背景的测量已经要求几种宇宙弦的 $G\mu$ 低于约 $10^{-7}$ 。Auclair等，2020，式1.1与第1节

例题：多高的能量尺度给出十的负十次方的张力

从上式解出 $\eta$ ： $\eta\sim10^{16}\,\mathrm{GeV}\times\sqrt{10^{-10}/10^{-6}}=10^{14}\,\mathrm{GeV}$ 。 $G\mu$ 每差一百倍，能量尺度差十倍。这个关系只是数量级估计，结果保留一位有效数字就够了。

保持能量份额的弦网络

长弦横贯可见宇宙，彼此相隔一个典型距离 $L$ ，定义为 $\rho_\infty=\mu/L^2$ ， $\rho_\infty$ 是长弦的能量密度。数值模拟和速度相关单尺度模型都表明， $L$ 与宇宙年龄成正比增长。记 $L=\xi t$ ：辐射期 $\xi_{\mathrm r}=0.271$ ，弦运动速度的均方根为 $0.662$ ；物质期 $\xi_{\mathrm m}=0.625$ 。这种行为叫标度演化。Auclair等，2020，第3.1节

标度演化意味着宇宙弦永远不会主导宇宙。辐射期 $H=1/(2t)$ ，临界密度 $\rho_{\mathrm c}=3H^2/(8\pi G)=3/(32\pi Gt^2)$ 。长弦所占的份额是

\frac{\rho_\infty}{\rho_{\mathrm c}}=\frac{\mu}{\xi_{\mathrm r}^2t^2}\cdot\frac{32\pi Gt^2}{3}=\frac{32\pi}{3}\,\frac{G\mu}{\xi_{\mathrm r}^2},

式子里已经没有时间了。

例题：弦网络的能量份额

取 $G\mu=10^{-10}$ 、 $\xi_{\mathrm r}=0.271$ ，份额为 $33.5\times10^{-10}/0.0734=4.6\times10^{-8}$ 。宇宙一秒大时是这个数，一万岁时还是这个数：网络随宇宙一起长大，却不会占据宇宙。

如果只是被拉伸，弦会越来越长，份额也越来越大。网络之所以保持标度演化，是因为它不停地把弦切成弦环。在单尺度模型里，单位体积、单位时间进入弦环的能量是 $\tilde c\,\bar v\,\rho_\infty/L$ ，切割效率 $\tilde c=0.23$ 取自数值模拟。

新的弦环从哪里来

最简单的模型，即Auclair等人的模型I，假定每个弦环诞生时的长度都是长弦间距的同一个比例， $\ell=\alpha_{\mathrm L}L$ 。以宇宙年龄为单位，诞生尺寸就是 $\alpha=\alpha_{\mathrm L}\xi$ 。NANOGrav取 $\alpha_{\mathrm L}\simeq0.37$ 、 $\xi_{\mathrm r}\simeq0.27$ ，在辐射期深处得到 $\alpha\simeq0.10$ 。NANOGrav合作组，2023，第5.4节，式43至45

此后弦环以恒定速率 $\mathrm d\ell/\mathrm dt=-\Gamma G\mu$ 缩短。在 $t_{\mathrm i}$ 时刻诞生、长度为 $\alpha t_{\mathrm i}$ 的弦环，经过

\tau=\frac{\alpha t_{\mathrm i}}{\Gamma G\mu}

后消失。网络处于标度演化，单位体积、单位长度的弦环数可以写成 $n(\ell,t)=t^{-4}\,n(x)$ ，其中 $x=\ell/t$ 。在同一个时期里，只用比值 $x$ 的一个函数，就能描述任何时刻的弦环。Auclair等，2020，式3.1

Lab任务

打开宇宙弦Lab，弦环大小保持默认值。把张力从 $10^{-10}$ 拖到 $10^{-17}$ ，边拖边读寿命；再把张力设为 $10^{-12}$ ，用 $\tau$ 的公式核对读数。

练习

求 $G\mu=10^{-12}$ 的弦单位长度的质量。
$G\mu=10^{-12}$ 的弦环以 $\alpha=0.1$ 诞生，它能活多少倍于诞生时刻的时间？
辐射期， $G\mu=10^{-17}$ 的长弦占临界密度的多少？
在单尺度模型里，辐射期经过一个宇宙年龄 $t$ 的时间，长弦能量有多大比例进入弦环？

答案

$\mu=10^{-12}\times1.347\times10^{27}\,\mathrm{kg\,m^{-1}}=1.35\times10^{15}\,\mathrm{kg\,m^{-1}}$ ，比例题轻一百倍。
$\tau/t_{\mathrm i}=0.1/(50\times10^{-12})=2\times10^{9}$ ，与Lab在这个张力下的读数相同。
份额与 $G\mu$ 成正比： $4.6\times10^{-8}\times10^{-7}=4.6\times10^{-15}$ 。
损失率除以 $\rho_\infty$ 得 $\tilde c\,\bar v/(\xi_{\mathrm r}t)=0.23\times0.662/(0.271\,t)=0.56/t$ 。在一段 $t$ 的时间里，网络大约有一半能量变成弦环，所以靠产生弦环就能维持标度演化。这个估计把损失率在这段时间里当作常数。