FR02-A · 时钟转了，实验变了吗

局域相位与 Wilson 环

改变相位，什么时候会改变干涉结果？ 每一点换一种相位约定，相连链上的相位也要跟着换。绕闭环累积的相位保持不变，干涉概率就不变。穿环通量真的改变时，闭环相位才会改变，信号随之在两个出口之间转移。

转动一个局域相位时钟，看相邻链怎样补偿。再改变环内磁通，看两个输出端口怎样交换明暗。

Wilson 环 $W=e^{0.70\pi i}$

端口 1 概率 $0.206$

端口 2 概率 $0.794$

所选链的协变相位 $\delta_{AB}=0.175\pi$

换相位约定，或改变磁通

什么真的变了？

先拖动金色时钟，再调“环内磁通相位”。哪次操作会改变出口概率？

环内磁通相位

\Phi

0.70\pi

选择局域时钟局域规范转角

\chi

0.50\pi

模型与键盘操作

模型采用静态 U(1) 链变量和理想的等臂相干合束器。金色时钟表示局域参考场相位，紫色时钟表示有向链相位。这里不求解规范场的动力学方程；端口概率来自理想模型。

金色时钟是振幅为一的参考场。两条臂各自把源相位输运到 C，再由理想合束器给出两个端口的概率。

聚焦画面后，上下键选择时钟，左右键转动时钟。这些操作改变局域相位约定。

理想模型预测

磁通转满一圈，输出回到原处

$P_1=\frac{1+\cos\Phi}{2},\qquad P_2=1-P_1$

比较合束处的两条路径相位

\varphi_{\rm upper}=-0.65\pi,\quad\varphi_{\rm lower}=0.05\pi

两条路径到达 C 时，都用 C 处的相位约定。转动 C 处时钟，两者同向改变，相位差保持不变。

继续学习：规范场与有效理论

先抓重点

核心问题: 改变相位，什么时候会改变干涉结果？
一句话直觉: 局域相位约定一改，站点和相邻链一起转；沿闭环绕一圈留下的相位仍然相同。

核心数学模型

改变局域相位约定

\begin{aligned}\phi_i&=e^{i\theta_i},\quad U_{ij}=e^{ia_{ij}}\\\theta_i&\mapsto\theta_i+\chi_i\\a_{ij}&\mapsto a_{ij}+\chi_i-\chi_j\end{aligned}

金色时钟表示振幅为一的参考场。链把终点的场换算到起点的相位约定。转动一个站点，相邻两条有向链就按相反符号补偿。

比较两点，再绕一圈

\begin{aligned}\delta_{ij}&=\arg(\phi_i^*U_{ij}\phi_j)\\&=\theta_j-\theta_i+a_{ij}\pmod{2\pi}\\W&=U_{AB}U_{BC}U_{CD}U_{DA}\\&=e^{i\Phi}\end{aligned}

两个式子里的局域转角都互相抵消。顺时针方向为 A、B、C、D、A，逆着链走要取复共轭。读数中的链相位取主值。

两个理想出口的概率

\begin{aligned}\varphi_{\rm upper}&=\theta_A-a_{AB}-a_{BC}\\\varphi_{\rm lower}&=\theta_A+a_{DA}+a_{CD}\\P_1&=\frac{1+\cos\Phi}{2}\\P_2&=1-P_1\end{aligned}

两臂振幅相等，动力学相位也相同。按前面的端点约定，沿链正向输运要取链的复共轭。平衡合束器在一个端口把振幅相加，在另一个端口相减。中间站点的参考场另用于比较相位，不表示传播波本身。

常见难点

指针角度需要比较规则

容易误解只要一个相位角变了，实验结果就会变。

正确理解相位约定改变时，比较站点所用的链也会改变。干涉取决于两臂到达同一地点后的相位差。

Wilson 环比单个强度保留更多信息

容易误解两个出口强度就能确定磁通正负。

正确理解强度由余弦决定，反向磁通给出同样的强度。Wilson 环的虚部会变号；加上相位敏感的参考，才能分辨环路方向。

动手实验

01
只转一个时钟
先猜输出会不会变。拖动 B 处的金色时钟，或调整“局域规范转角”。
你会看到： 相邻两个紫色时钟反向转动。协变链相位、Wilson 环和两个端口概率都保持不变。
02
改变磁通
比较“两端口平分”和“亮端口熄灭”，再连续拖动“环内磁通相位”。
你会看到： 磁通相位转过四分之一圈，两个出口概率相同；转过半圈，端口 1 相消，粒子全部从端口 2 离开。
03
把磁通转满一圈
先把磁通相位调到零，再调到一整圈。每次都保存一份模型快照。
你会看到： 局域链相位可以不同，Wilson 环和端口概率却回到了起点。相位转满一圈，复相位与零相同。

局域相位与 Wilson 环

磁通转满一圈，输出回到原处