F002 · 换一个尺度看场

粗粒化与重整化参数流

格点变稀以后，长距离上的预测为什么还能保留下来？ 把短尺度自由度积分掉，剩下的场就要换一组参数。用长波的几个量确定参数，其他低能预测仍可能接近原模型；格点过稀或丢掉重要项时，误差就会显露出来。

隔一个站点保留一个场值，把中间的自由度积分掉。用两个长波模式确定参数，再拿没有参与匹配的第三个模式检验预测。

粗格距 $1$

匹配后的质量平方 $0.16$

匹配后的刚度 $1$

留出模式的协方差误差 $0\%$

用两个模式匹配，再检验一个

能保住多大一段谱？

精确边缘分布虚线：局域近似金点：留出模式

哪些模式参与了匹配？

零模式和第一个非零模式用来确定两个参数。下一个模式检验协方差预测；导出的轨迹保留精确边缘分布的完整结果。

十二份场样本给出的估计

样本均值与一个标准误差精确协方差虚线：匹配后的局域协方差

把金色估计与精确协方差比较。

样本不确定度怎样计算

每个点都把轮播中同一组十二份保留场样本的 Fourier 模式功率取平均。误差棒来自这十二个独立样本之间的方差。参数匹配使用精确的零模式和第一模式；采样点显示有限记录的不确定度，它与上方精确留出结果的截断误差分开。

另一个有相互作用的理论

沿一个方向靠近 Wilson–Fisher 点

粗青线：调好的临界轨迹Wilson–Fisher 不动点拖动金色初始点

拖动金色点，比较附近的参数流轨迹。

参数流的含义与临界指数

粗青线按 Tong 第3.5节图30的单圈方程，数值追踪调好的临界轨迹，箭头走向紫色不动点。细线从附近不同条件出发；小参数属于这个接近四维的独立模型。

$\nu=\frac12+\frac{\epsilon}{12}+O(\epsilon^2)$ $\nu_{\mathrm{leading}}=0.508$

$\gamma=1+\frac{\epsilon}{6}+O(\epsilon^2)$ $\gamma_{\mathrm{leading}}=1.02$

模型方程、核读来源与边界

主模型是一维周期边界的欧氏高斯场，可以加入高阶导数项。画面轮播独立样本，不表示物理时间。下方另列一个接近四维的单圈标量场参数流。

长度采用固定参考单位，场幅经过缩放，欧氏作用量无量纲。六十四站点的环采用正质量、非负高阶刚度。先用 Schur 补精确积分，再用最近邻作用量匹配两个模式。高阶刚度为零时，这一维高斯模型抽稀后恰好仍在同一家族内。

r=\mu^2/\Lambda^2,\quad u=9\widetilde g/(2\pi^2),\quad \frac{dr}{ds}=2r+\frac{u}{3(1+r)},\quad \frac{du}{ds}=\epsilon u-\frac{u^2}{(1+r)^2}

另列的流图只保留略低于四维时的单圈质量和四次耦合。图中只显示小耦合窗口。代码求出截断方程的不动点，指数则只保留小参数的一阶项；这里不据此给出三维精密指数或非微扰连续极限。

Tong：第3章3.5节，印刷页90—91、图30（已核读方程和图）

Wilson 与 Fisher，PRL 28,240（1972）：出版摘要给出的一阶磁化率指数（已核读摘要）

Wilson 1982年诺贝尔演讲：尺度变换的物理意义

先抓重点

核心问题: 用两个长波模式确定参数，第三个模式还能预测得多准？
一句话直觉: 积分掉一部分自由度后，留下的变量仍服从原来的边缘分布；再把有效作用量缩成一个短公式，近似才从这一步开始。

核心数学模型

一个正定的高斯格点作用量

S=\frac a2\sum_i\left[m^2\phi_i^2+\left(\frac{\phi_{i+1}-\phi_i}{a}\right)^2+\kappa\left(\frac{\phi_{i+1}-2\phi_i+\phi_{i-1}}{a^2}\right)^2\right]

六十四个站点首尾相接。长度和场强采用固定的参考单位，欧氏概率权重等于作用量取负后的指数。

把不保留的站点积分掉

Q_{\mathrm{eff}}=Q_{rr}-Q_{re}Q_{ee}^{-1}Q_{er},\qquad C_{rr}=Q_{\mathrm{eff}}^{-1}

留下的站点保留原有协方差。金色一行的场值直接取自青色一行的对应位置。

只留两个参数的局域近似

A_{\mathrm{local}}(q)=c_0+4c_1\sin^2(q/2),\qquad q_n=2\pi n/N_{\mathrm{coarse}}

用 $n=0,1$ 两个模式确定系数，再用没有参与匹配的 $n=2$ 检验预测。

常见难点

抽稀和求平均不同

容易误解金色场值是每一块里所有场值的平均数。

正确理解这里每隔二、四或八个站点保留一个。其余站点虽然从画面中删去了，它们对概率的影响仍留在积分得到的有效作用量里。

穿过两个点还不够

容易误解近似曲线穿过两个模式，说明粗格点模型已经正确。

正确理解这两个点用来确定参数，本来就会吻合。要检验预测，应该看第三个模式，再看更短的波长。

动手实验

01
先看长波留下多少
选择“长波留下来”，在场图上横向拖动。
你会看到： 金色站点与对应的青色站点有相同场值。用短公式近似时，长波部分通常贴得更近。
02
找到局域模型恰好够用的情况
选择“局域模型恰好够用”。
你会看到： 关掉高阶导数项以后，这条一维最近邻高斯链抽稀后仍是最近邻高斯链。留出误差降到浮点舍入的量级。
03
让未参与匹配的模式来检验
选择“格点过稀的代价”，比较金色点和虚线。
你会看到： 第三个模式没有帮忙确定参数。它的协方差误差显示，把有效作用量截短会付出多大代价。