F003 · 多大才算足够大？

有限尺寸标度

几条曲线叠得漂亮，临界点就找对了吗？ 小系统的曲线变化缓慢，临界点偏一点也可能叠得很好。尺寸变大后，同样的偏差会被放大。先把大尺寸数据留出来，再检验预测，才容易发现这种误判。

比较五种长度的高斯场。先拿小格点调出一张漂亮的图，再揭开大格点的数据，看原来的预测还能不能成立。

小尺寸偏差 $1.00$

留出尺寸偏差 $1.00$

连续场关联长度与区间之比 $0.500$

保存记录的有效样本数 $3600$

45 条抽样链 · 五种尺寸

预测要经得起新尺寸的检验。

用于比较的小尺寸预先留出的大尺寸虚线：连续极限参考

重标度之前

\chi_L=\frac{a^2}{L}\sum_{i,j}\langle\phi_i\phi_j\rangle

重标度之后

x=(r-r_c)L^{1/\nu},\qquad y=\chi_L/L^2

正在比较记录的样本。

调整待检验的标度关系

猜测的临界点

r_c

0

关联长度指数

\nu

0.5

小尺寸的数据插值成比较曲线，大尺寸始终不参与。偏差以双方合成标准误差为单位，再取均方根。插值会让偏差彼此相关，这个数用于诊断，不能当作显著性检验。

抽样误差与原始记录

每条链保存了 16,384 次完整场的投影，相邻样本彼此相关。误差棒由每批 128 次的批均值计算，测试还会把批长加倍比较。抽样从高斯平稳分布开始。

有效样本数取自所选尺寸下质量最接近的保存记录。动画是同一模型另行抽取的即时样本。

该读数采用的保存质量： $rL^2=4$

$q=\frac{a}{\sqrt L}\sum_i\phi_i,\qquad\widehat\chi_L=\overline{q^2}$

15 格点 · 原始 JSON 23 格点 · 原始 JSON 31 格点 · 原始 JSON 63 格点 · 原始 JSON 127 格点 · 原始 JSON

模型与科学来源

场的两端固定为零，欧氏作用量只保留二次项。画面切换的是抽样结果，播放速度不代表物理时间。这个高斯模型的关联长度指数为二分之一；有相互作用的系统可以取不同的指数。

这是一维自由欧氏标量场，两端采用零值 Dirichlet 边界。格距为一个参考长度单位，作用量无量纲。正质量下关联长度有限；这里从非负质量平方一侧逼近高斯临界极限，未估计相互作用理论的临界指数。

S=\frac12\sum_{j=0}^{N}\frac{(\phi_{j+1}-\phi_j)^2}{a}+\frac{ar}{2}\sum_{j=1}^{N}\phi_j^2,\quad L=(N+1)a

虚线来自连续场边值问题的解析解，与记录的格点数据分开。格距有限会带来格距与区间长度之比的二次修正。

\frac{\chi_L}{L^2}\longrightarrow\frac{1-2\tanh(\sqrt{x}/2)/\sqrt{x}}{x},\qquad x=rL^2

David Tong · Statistical Field Theory, sections 2.2–2.3

先抓重点

核心问题: 临界点猜错了，小尺寸数据为什么仍然叠得很好？
一句话直觉: 临界点的偏差要乘上区间长度的平方，尺寸越大，检验越敏感。

核心数学模型

从涨落求均匀源的响应

q=\frac{a}{\sqrt L}\sum_i\phi_i,\qquad \chi_L=\langle q^2\rangle

二次作用量下，场的均值为零。这个投影的平方平均值，等于弱均匀源引起的响应率。

高斯场的有限尺寸标度

\chi_L/L^2\longrightarrow F(rL^2),\qquad F(x)=\frac{1-2\tanh(\sqrt{x}/2)/\sqrt{x}}{x}

保持 $x=rL^2$ 不变，让格距相对区间长度越来越小，就得到这条连续极限曲线。零质量处 $F(0)=1/12$ 。

常见难点

叠得漂亮只是检验的一部分

容易误解三组小尺寸曲线贴在一起，临界点就一定找对了。

正确理解预设里那个错误临界点只让小尺寸横移了一点。两组大尺寸的横移明显得多，曲线便分开了。

相邻样本会分享信息

容易误解保存一万六千次抽样，就有一万六千次独立测量。

正确理解新场保留了前一个场的一部分。误差计算把样本分成长于这种记忆的批次，有效样本数会少得多。

动手实验

01
先看重标度的作用
选择“五种尺寸，一条曲线”，比较重标度前后的图。
你会看到： 原始响应随尺寸明显增大；重标度后，五种尺寸都靠近连续极限参考。
02
试一次诱人的误判
选择“看似不错的错误拟合”，先预测大尺寸会落在哪里。
你会看到： 临界点已经偏移，小尺寸偏差仍接近一。
03
揭开没参与拟合的尺寸
选择“让大格点来检验”，把橙色曲线与你的预测比较。
你会看到： 留出尺寸的偏差上升得远比小尺寸明显。更长的区间暴露了错误临界点。

有限尺寸标度

预测要经得起新尺寸的检验。

重标度之前

重标度之后

拿一组新尺寸检验标度关系

核心数学模型

从涨落求均匀源的响应

高斯场的有限尺寸标度

常见难点

叠得漂亮只是检验的一部分

相邻样本会分享信息

动手实验

先看重标度的作用

试一次诱人的误判

揭开没参与拟合的尺寸

相关实验与文章

从场模走到临界现象