怎样检验一张漂亮的数据塌缩图

理想解析参考，采用无量纲参考单位。

\chi/L^2=\left[1-2\tanh(\sqrt{x}/2)/\sqrt{x}\right]/x,\quad x=rL^2

原点处取极限值十二分之一。Lab 另显示有限格点结果和采样结果。

几组小系统的数据叠得很好，临界点仍然可能猜错。大系统会把同一个偏差放大。先用小尺寸提出标度关系，再拿预先留出的更大尺寸检验，曲线重合这件事才更有说服力。

先修是欧氏格点与误差中的协方差、源与响应，以及保留低能物理对精确消去和截断近似的区分。这一章要从有限区间推导一条标度曲线，再用保存的样本估计它，找出一次看似成功的错误拟合。

区间长度为什么会进入答案

取一维场，两端固定为零。内部有 $N$ 个等距格点，格距是 $a$ ，区间实际长度为 $L=(N+1)a$ 。坐标从左端向右增加。参数 $r$ 的量纲是长度平方的倒数。作用量无量纲，长度用一个固定参考单位表示：

S=\frac12\sum_{j=0}^{N}\frac{(\phi_{j+1}-\phi_j)^2}{a} +\frac{ar}{2}\sum_{j=1}^{N}\phi_j^2, \qquad \phi_0=\phi_{N+1}=0.

第一项惩罚相邻格点的突变；第二项则让缓慢变化的大幅场也付出代价。在无限直线上，正的 $r$ 给出关联长度 $\xi=1/\sqrt r$ 。超过这个距离，两处场值的关联会明显衰减。区间有限时，两端也会影响关联；一旦 $\xi$ 与 $L$ 相当，就不能只谈质量而忘记系统有多长。

两个长度只给出一个独立比值：

\frac{L}{\xi}=L\sqrt r,\qquad x=rL^2.

这提示我们比较 $x$ 相同的系统。长度加倍， $r$ 就要缩小到四分之一。它们的关联范围相对各自长度相同，未经重标度的响应却可以相差很大。

从涨落求响应

给场加一个很弱的均匀源 $h$ ，作用量就多出 $-ha\sum_j\phi_j$ 。正的源偏向正的场。把平均积分场对源求导，再除以区间长度，得到响应率：

\chi_L=\frac{a^2}{L}\sum_{i,j}\langle\phi_i\phi_j\rangle =\langle q^2\rangle,\qquad q=\frac{a}{\sqrt L}\sum_j\phi_j.

这里用了零均值高斯场的性质。 $\chi_L$ 称为响应率或磁化率，表示单位区间长度对弱均匀源的响应。可以真的加一个源去测，也可以记录无源时的涨落，平均投影的平方。保存的数据采用后一种办法，每个投影都来自一幅完整场构型。

连续场的方程还能给出独立参考。用 $u(z)$ 表示位置 $z$ 处平均场对源的导数。高斯场方程变成

-u''(z)+ru(z)=1,\qquad u(0)=u(L)=0.

右侧常数代表均匀源。正质量时，常数 $1/r$ 是一个特解；再加一组关于中点对称的指数函数，就能满足两端为零：

u(z)=\frac1r\left[ 1-\frac{\cosh\!\left(\sqrt r(z-L/2)\right)} {\cosh(\sqrt rL/2)} \right].

沿区间积分并除以 $L$ ，双曲余弦的积分给出

\chi_L=\frac1r\left[ 1-\frac{2\tanh(\sqrt rL/2)}{\sqrt rL} \right].

再除以长度平方，右侧只剩 $x$ ：

\frac{\chi_L}{L^2}=F(x),\qquad F(x)=\frac{1-2\tanh(\sqrt x/2)/\sqrt x}{x}.

图中的虚线就是这条连续极限参考，彩色点则来自保存的格点样本。两者之间的小差别既可能来自抽样，也可能来自格距。

零质量时，这个表达式看起来不能直接代入。回到微分方程，解是 $u(z)=z(L-z)/2$ ，空间平均值为 $L^2/12$ ，于是 $F(0)=1/12$ 。固定端点让有限区间的响应保持有限。

算一条保存的记录

取 $N=31$ 、 $a=1$ ，则 $L=32$ 。设 $r=0.00390625$ ，得到 $x=4$ ，关联长度恰好是区间的一半。连续场的精确响应为 $61.0319$ ，离散格点的精确值为 $60.9542$ 。

种子为 353159 的抽样链保存了 16,384 次投影，估计结果是

\widehat\chi_L=60.8456\pm1.5105,\qquad \widehat\chi_L/L^2=0.0594196\pm0.0014751.

这里的正负范围是一个估计标准误差。两种精确参考都落在这个范围内；两条参考之间的差别，还远小于这条链的抽样误差。

这个误差为什么要分批算？每次更新时，每个高斯模式都保留前一个值的八成，再加入新的高斯随机量。投影的平方也就记住了一部分过去。把所有样本当作独立抽样，标准误差只会算出 $0.6773$ 。将记录分为 128 批，每批 128 次，再看批均值之间的起伏，便能把这种记忆计入。估计的有效样本数约为 3,294。

这个算法中，投影平方相隔 $k$ 次更新的相关系数为 $0.8^{2k}$ ，渐近方差放大倍数恰好为 $(1+0.8^2)/(1-0.8^2)\approx4.56$ 。数据测试还把批长加倍比较。若研究陌生的相互作用系统，还需要检查是否达到平衡，以及有没有更慢的模式。

错误临界点怎样骗过小尺寸

待检验的横坐标通常写成

x_{\mathrm{trial}}=(r-r_c)L^{1/\nu}.

这个高斯基准的精确值为 $r_c=0$ 、 $\nu=1/2$ 。保留指数，只把猜测的临界点移到 $r_c=-0.0003$ 。每条曲线就横移 $0.0003L^2$ ：长度 16 时只移 $0.0768$ ，长度 128 时却移了 $4.9152$ 。

相对整张图的范围，小曲线移动得很少。它们以标准误差为单位的均方根偏差，只从约 1.01 升到 1.10。预先留出的两组大尺寸却从约 0.94 升到 7.14。这里用小尺寸插值成比较曲线，并计入样本点与比较曲线双方的误差。插值会让偏差互相关联，不能把这个均方根直接当作显著性概率。

格距有限也会让不同尺寸有规律地偏离。零质量时，离散响应能精确求和：

\chi_L=\frac{a^2N(N+2)}{12},\qquad \frac{\chi_L}{L^2}=\frac1{12}\left(1-\frac{a^2}{L^2}\right).

即使临界点选对，仍然有正比于 $a^2/L^2$ 的修正。保持实际长度不变、只细化格点，就能把截断修正与体积变化分开。

这里从非负的 $r$ 一侧逼近无质量高斯极限。若二次系数取负值，还需要额外相互作用稳定无限体积的作用量。相互作用临界点应采用相应的指数和标度函数。

先预测，再揭开数据

打开有限尺寸标度实验，选择“五种尺寸，一条曲线”，先解释原始响应为什么分开。再选“看似不错的错误拟合”。此时大尺寸被隐藏：先画出你猜测的位置，再点“让大格点来检验”。

在“调整待检验的标度关系”里改变指数。先想一想：这个改变会让每个尺寸伸缩相同的倍数吗？记下小尺寸偏差、留出尺寸偏差，以及参与比较的点数。参数变化可能把一些点移出比较范围；点数减少时，要重新审视检验还剩下哪些数据。

练习

保持 $x=4$ ，把长度从 32 改成 64，质量参数应当怎样变化？

答案与理由

由 $r=x/L^2$ ，原来的 $0.00390625$ 应改成 $0.0009765625$ 。关联长度与区间一起加倍，两者比值不变。

保持实际长度 $L$ 不变，把格距减半。零质量处重标度响应的偏差怎样变？

答案与理由

与 $1/12$ 的差为 $-a^2/(12L^2)$ ，格距减半，偏差绝对值缩小到四分之一。这样改变了截断，没有改变实际体积。

同事看过全部五种尺寸之后，反复调参得到一张漂亮的重合图。怎样安排新的检验？

答案与理由

固定已有参数，用独立种子生成一个此前没有看过的更大尺寸。揭开数据前先决定比较范围。已经帮助挑选参数的数据，不能再算一次新的留出检验。

把边界换成周期边界，零质量处还能沿用同一条虚线吗？

答案与理由

周期边界容许均匀零模式。质量为零时，这个模式没有二次回复力，无约束高斯积分会发散。有限的 Dirichlet 结果依赖固定端点。周期基准必须保留正质量，或明确约束零模式，再重新推导相应响应。

高斯作用量、源与响应、关联长度可参照 David Tong《统计场论》第 2.2—2.3 节。上面的有限区间参考针对这里的边界条件推导。实验提供的原始下载保存了投影、对应场快照、种子和模型版本，可以重新计算每个估计。

动手探索

有限尺寸标度 →比较五种长度的高斯场。先拿小格点调出一张漂亮的图，再揭开大格点的数据，看原来的预测还能不能成立。

来源与核读范围

David Tong, Statistical Field Theory, Chapter 2
核读高斯积分、逆核关联函数、关联长度和欧氏量子力学解释。有限链的归一化按本课程约定另行推导。
David Tong, Statistical Field Theory, Chapter 3, §3.5, Figure 30
核读四维附近的一圈 Wilson–Fisher 流，第 90—91 页、图 30。Lab 按方程重画相图，另存参数和积分收敛检查。