对称性告诉我们什么在流动

一段弦振动时，相邻小段会互相做功，能量便沿弦传递。场方程不仅能判断整条弦的总能量是否守恒，还能算出某个小区间流出了多少能量。Noether 定理把这种局域收支与对称性联系起来：把时钟的起点挪一下，物理规律不变，便对应能量守恒。

先把能流直接算出来，“流”就不只是一个抽象词了。

跟踪一小段弦的能量

继续使用上一章的位移场和单位约定。 $\mu$ 是质量线密度， $\kappa$ 是张力参数， $\Omega$ 是连接支架的小弹簧给出的角频率。单位长度的能量为

e=\frac{\mu}{2}(\partial_t\phi)^2+\frac{\kappa}{2}(\partial_x\phi)^2+\frac{\mu\Omega^2}{2}\phi^2.

对每项求时间导数，再用场方程替换第一项里的 $\mu\partial_t^2\phi$ 。带有 $\Omega^2$ 的两项互相抵消，剩下的部分恰好可以用乘积求导公式合起来：

\begin{aligned} \partial_t e &=\kappa(\partial_t\phi)(\partial_x^2\phi)+\kappa(\partial_x\phi)(\partial_x\partial_t\phi)\\ &=\kappa\partial_x[(\partial_t\phi)(\partial_x\phi)]. \end{aligned}

定义能流 $j_E=-\kappa(\partial_t\phi)(\partial_x\phi)$ ，单位为瓦。它为正，表示能量穿过这个位置、朝 $x$ 增大的方向流动。上式就成为局域守恒方程：

\partial_t e+\partial_xj_E=0.

对左右端点为 $x_1$ 、 $x_2$ 的小区间积分，空间导数就变成两端的流量差：

\frac{d}{dt}\int_{x_1}^{x_2}e\,dx=j_E(x_1)-j_E(x_2).

左端流进多少、右端流出多少，决定这段弦增加多少能量。整条孤立弦的总能量可以守恒，其中一段的能量却不断变化。边界条件决定端点能流是为零、互相抵消，还是由外界持续输入。

用一列行波检查正负号

对向右行进的波 $\phi=A\cos(kx-\omega t)$ ，时间导数是 $A\omega\sin(kx-\omega t)$ ，空间导数是 $-Ak\sin(kx-\omega t)$ ，其中 $k$ 、 $\omega$ 都取正。两者乘积为负，能流便指向右方。一个周期内的平均功率为

\overline{j_E}=\frac{\kappa A^2\omega k}{2}.

取没有支架恢复力的弦， $\mu=0.500\,\mathrm{kg\,m^{-1}}$ ， $\kappa=2.00\,\mathrm{N}$ ，波速为 $2.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。振幅 $A=0.0100\,\mathrm{m}$ 、波长 $2.00\,\mathrm{m}$ 的行波，具有波数 $\pi\,\mathrm{m^{-1}}$ 和角频率 $2\pi\,\mathrm{s^{-1}}$ ，平均传输功率约为 $1.97\,\mathrm{mW}$ 。把传播方向反过来，能流也反向；把振幅加倍，功率变为四倍。

对称性怎样给出守恒流

对称变换会改变描述，却让作用量保持不变，或只多出边界项。对于不受外部时变驱动的弦，把所有时间标签平移同一个小量，不会改变作用量。物理规律不会偏爱某个时钟起点。这个时间平移对称性对应能量守恒。

一般地，记 $\pi^\mu=\partial\mathcal L/\partial(\partial_\mu\phi)$ 。如果无穷小场变换 $\delta\phi$ 让拉格朗日密度只改变一个全导数，即 $\delta\mathcal L=\partial_\mu F^\mu$ ，就能构造

j^\mu=\pi^\mu\delta\phi-F^\mu,\qquad \partial_\mu j^\mu=0.

重复指标表示对所选坐标求和。推导过程和上一章变分很接近：展开密度变化，对导数项分部积分，再用场方程消去乘在 $\delta\phi$ 前面的项。剩下的正是上式中的散度。对于时间、空间平移，还要计入坐标本身的变化；时间平移给出的就是刚才算出的能量密度和能流。

均匀系统的空间平移对应动量守恒。Noether 流来自连续对称性。实标量场整体变号只有两种选择，而推导中的无穷小步骤要求变换连续可调。

局域相互作用怎样传播

连续场方程只含同一位置上的导数。没有支架恢复力时，解可以写成左右行波之和 $f(x-ct)+g(x+ct)$ 。最初局限在一小段里的扰动，要经过由距离和 $c$ 决定的时间，才能传到更远的位置。加上局域恢复项会改变波形，却保留连续方程的特征传播速度。

离散链的细节略有不同。波包群速度 $d\omega/dk$ 不超过 $c$ ，但局部扰动可以在主要波前之外形成很小的尾部。连续模型严格的影响范围，不能直接套到有限格点动画上。

相对论量子场用局域可观测量的对易关系表达因果性。对易子比较两次操作交换顺序后有何差别，第三章会给出准确定义。两处相距太远，光在两次事件的时间差内赶不到，就叫类空间隔。此时对易子为零，两次操作便不能用来在这些事件之间传递信号。两点关联仍可能不为零。关联问的是哪些结果倾向于一起出现；响应问的是主动改变一处，另一处会怎样变化。量子化之后，我们会再遇到这个区别。

驻波里也有能量交换

在场模 Lab 中找到一种两端固定的驻波形状，把它作为本章方程中的经典位移。一个周期里，经典弦的能量会在动能与形变势能之间转换。将它拆成两列方向相反、平均功率相等的行波，先预测平均净能流：结果为零，两列行波各自仍携带能量。Lab 的占据数属于下一章要讲的量子解释。

练习

总量不变，就一定局域守恒吗？

设想一条规则：瞬间从某处取走能量，再把等量能量放到很远的位置。总能量能否不变？它满足弦的局域守恒方程吗？

答案与理由

总能量可以不变。但弦的局域守恒方程不满足，因为中间各处没有相应能流经过。局域连续性方程比“某个总数保持不变”包含更多物理内容。

被驱动的小区间从哪里获得能量？

右端能流为零，左端平均流入 $2.00\,\mathrm{mW}$ ，忽略耗散。持续 $3.00\,\mathrm{s}$ 后，区间增加多少能量？

答案与理由

把两端能流差对时间积分，得到 $6.00\,\mathrm{mJ}$ 。这个区间是开放系统。把驱动装置也包含进来，它增加的能量正好由外界做功提供。

如果主动改变张力呢？

外部装置让整条弦的张力参数成为 $\kappa(t)$ 。刚才的守恒推导哪一步会改变？差额由谁承担？

答案与理由

给定场的作用量不再具有时间平移对称性。对梯度能求导时会多出 $\dot\kappa(\partial_x\phi)^2/2$ 。改变张力的装置在做功，把它的能量也计入，才能讨论组合系统的能量守恒。

动手探索

场的模式与量子化 →拖动两端固定的场模，再选择量子占据数，比较波长、能量与定态振子的坐标概率分布。

来源与核读范围

David Tong, Quantum Field Theory, Chapter 1
核读第 1.1、1.3 节的局域作用量、场方程、Noether 流和边界通量。弹簧链例题在正文中独立推导。
David Tong, Quantum Field Theory, Chapter 2
核读第 2.1—2.7 节：谐振子量子化、自由标量场模、真空双点函数和类空间隔的对易子。