一串振子怎样变成场

理想解析参考，采用无量纲参考单位。

\omega_{\mathrm{lat}}^2=0.25+4\sin^2(k/2),\quad \omega_{\mathrm{cont}}^2=0.25+k^2

长波处两条线接近，靠近格点截断时差异增大。

场把许多位置上的自由度写进同一个函数。绷紧的弦就是一个直观例子：每一小段都能动，相邻小段又会互相拉扯。如果波长远大于这些小段的间距，我们就可以用平滑的位移函数描述整条弦。场方程保留了这个尺度上看得见的运动。

这里的“波长足够长”是有内容的。连续描述能不能用，要看它在所关心的波长范围内预测得准不准。从一串弹簧出发，我们可以亲手算出它什么时候准确，又从哪里开始偏离。

先看一颗能被拉动的小球

沿水平坐标 $x$ 放置相同的小球，间距为 $a$ 。第 $j$ 颗小球在时刻 $t$ 的横向位移记作 $q_j(t)$ ，向上为正。位置和位移都以米计。每颗小球质量为 $\mu a$ ，其中 $\mu$ 是单位长度的质量。相邻小球之间的弹簧劲度系数为 $\kappa/a$ ， $\kappa$ 的单位是牛顿。另外，每颗球还可以由一根小弹簧连到支架上，单独振动时的角频率为 $\Omega$ 。

左右两根弹簧把小球拉向邻居位移的平均值。牛顿定律给出

\mu a\ddot q_j=\frac{\kappa}{a}(q_{j+1}-2q_j+q_{j-1})-\mu a\Omega^2q_j.

字母上方两个点表示对时间求两次导数，也就是位移的加速度。括号中的组合描述链的弯曲：如果小球位移排成一条直线，它就等于零。连到支架的小弹簧则关心位移本身，整串球一起向上移动时，它仍会把球拉回来。

用一列行波试出频率

试着让位移具有正弦形状： $q_j=A\cos(kja-\omega t)$ 。这里 $A$ 是振幅， $k=2\pi/\lambda$ 是波数， $\lambda$ 是波长， $\omega$ 是角频率。向右移动一个格点，相位便增加 $ka$ 。把这个形状代入牛顿方程，用余弦加法公式整理，得到

\omega^2=\Omega^2+\frac{4c^2}{a^2}\sin^2\!\left(\frac{ka}{2}\right),\qquad c=\sqrt{\frac{\kappa}{\mu}}.

频率怎样随波数改变，叫作色散关系。它把空间形状和振动节奏联系起来。更复杂的初始位移也可以拆成许多正弦波相加，这就是 Fourier 展开。在线性方程里，每个分量按自己的节奏演化，彼此叠加。

波长很长时，相邻小球的相位差很小， $\sin(ka/2)$ 可以近似成 $ka/2$ ，于是

\omega^2\simeq\Omega^2+c^2k^2,\qquad |ka|\ll1.

上图左侧，两条预测几乎贴在一起。往右走，波长越来越短，格点逐渐分辨出波峰和波谷之间的急剧变化，频率就要按完整的正弦函数计算。

算一列具体的波

取格距 $a=0.100\,\mathrm{m}$ ，波速参数 $c=2.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，支架振动角频率 $\Omega=3.00\,\mathrm{s^{-1}}$ 。波长为 $2.00\,\mathrm{m}$ 时，波数是 $\pi\,\mathrm{m^{-1}}$ 。离散链给出的角频率约为 $6.94\,\mathrm{s^{-1}}$ ，连续近似给出 $6.96\,\mathrm{s^{-1}}$ ，只相差约千分之三。

材料不变，把波长缩短到 $0.200\,\mathrm{m}$ 。这时相邻小球恰好反相：一个向上，另一个向下。离散频率约为 $40.1\,\mathrm{s^{-1}}$ ，连续公式却预测 $62.9\,\mathrm{s^{-1}}$ 。格点能容纳这列波，连续近似却已经跟不上它了。

从一串坐标走到一个函数

现在引入平滑函数 $\phi(x,t)$ ，让它在格点上的值等于 $q_j(t)$ 。Taylor 展开用一个位置的函数值和各阶导数，表示附近位置的值。 $x+a$ 和 $x-a$ 两个展开中，一次项符号相反、相加抵消，二次项则保留下来。再保留下一项，可得

\frac{\phi(x+a)-2\phi(x)+\phi(x-a)}{a^2}=\partial_x^2\phi+\frac{a^2}{12}\partial_x^4\phi+\cdots.

$\partial_x$ 表示固定时间、只对位置求导。保留右侧第一项，离散链便变成连续场方程：

\partial_t^2\phi-c^2\partial_x^2\phi+\Omega^2\phi=0.

刚才略去的四阶导数，正好解释了短波误差。对于一个正弦分量，它比二阶导数多带来两个波数因子。格距减半会改善同一列长波的预测，却不会让格点上所有波长都同样准确。

我们把许多坐标换成了一个定义在空间上的函数，仍然在讨论经典运动。要走向量子场，还需要先弄清独立振动模式和守恒量。

用能量再推一次

拉格朗日量是动能减势能。连续场的拉格朗日量可以写成空间积分：

L=\int dx\,\mathcal L,\qquad \mathcal L=\frac{\mu}{2}(\partial_t\phi)^2-\frac{\kappa}{2}(\partial_x\phi)^2-\frac{\mu\Omega^2}{2}\phi^2.

积分就是把许多小段的贡献加起来。密度 $\mathcal L$ 中每一项的单位都是焦耳每米。梯度项表示相邻位置的位移差越大，储存的弹性能越高；最后一项表示离开支架平衡位置也要付出能量。

让场发生任意微小变化，但保持时间起终点和固定空间边界不动。分部积分是把乘积求导公式倒过来用：把导数移到另一个因子上，并留下边界项。这里边界上的场变化为零，边界项消失。要求作用量的一阶变化为零，就得到场的 Euler–Lagrange 方程：

\partial_t\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_t\phi)}+\partial_x\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_x\phi)}-\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi}=0.

三项分别是 $\mu\partial_t^2\phi$ 、 $-\kappa\partial_x^2\phi$ 和 $+\mu\Omega^2\phi$ 。除以 $\mu$ ，便回到牛顿定律给出的结果。作用量的好处在下一章会更明显：它能把场方程和对称性放在一起讨论。

比较两种模式的形状

打开场模 Lab，把占据数保持为一，比较第一模和第三模。数一数内部哪些位置始终不动，这些位置叫节点。切换前，先预测频率和波长的比值。在这个两端固定、没有质量项的例子里，第三模有两个内部节点，频率是第一模的三倍，波长则是三分之一。前面的弹簧链例题另含支架恢复力，用来定量说明有限格距带来的修正。

练习

小球变重会怎样？

保持 $\kappa$ 、 $a$ 、 $\Omega$ 不变，把 $\mu$ 加倍。非均匀模式的频率怎样变？整串小球一起上下移动的模式呢？

答案与理由

波速变为原来的 $1/\sqrt2$ ，频率平方中的空间贡献减半，支架弹簧贡献仍是 $\Omega^2$ 。均匀模式不会拉伸相邻小球间的弹簧，频率仍为 $\Omega$ 。两类弹簧负责不同的恢复作用。

怎样检查连续近似？

程序在一个波长上接近连续公式。保持物理波长和链长不变，怎样再做一次检查，判断误差是否来自格点？

答案与理由

格距减半，格点数加倍，同时保持 $\mu$ 、 $\kappa$ 、 $\Omega$ 和物理链长不变。长波范围内，频率平方的主要误差与 $a^2$ 成正比，应缩小到约四分之一。如果只在固定格距下增加格点数，改变的是体积，检验的问题就不同了。

一个坐标能描述整个场吗？

如果每个位置始终具有相同位移，为什么只用一个振子就能描述这次运动？

答案与理由

这种初态只有均匀模，所有非均匀模的振幅都为零。相邻弹簧不贡献恢复力，只剩支架弹簧控制同一个位移。换一种初始形状，就会激发许多独立模式。一个坐标描述的是特殊运动，完整场论仍包含许多自由度。

动手探索

场的模式与量子化 →拖动两端固定的场模，再选择量子占据数，比较波长、能量与定态振子的坐标概率分布。

来源与核读范围

David Tong, Quantum Field Theory, Chapter 1
核读第 1.1、1.3 节的局域作用量、场方程、Noether 流和边界通量。弹簧链例题在正文中独立推导。