把每个简正模量子化

自由量子场可以拆成许多量子谐振子，每个独立空间模式对应一个。粒子是模式的激发；真空则是所有模式都处在最低能量的状态。真空的场平均值可以为零，反复测量得到的结果却仍有一定宽度。

先从一个熟悉的振子开始，改变坐标所遵循的运算规则，再把同样的做法用于各个简正模。这样就能逐步搭起自由量子场。

一个振子需要两个算符

用质量归一化的坐标 $Q$ 和共轭动量 $P$ 描述振子。若实际位移是 $q$ 、质量为 $M$ ，则 $Q=\sqrt Mq$ 、 $P=p/\sqrt M$ 。哈密顿量为

H=\frac12P^2+\frac12\omega^2Q^2.

量子力学把坐标和动量变成作用于状态的算符，先后顺序可能改变结果。用对易子记录这种差别： $[Q,P]=QP-PQ=i\hbar$ 。这里 $i^2=-1$ ， $\hbar$ 是约化普朗克常数。复振幅同时记录大小和相位，其模平方才给出概率。

把坐标与动量组合成降低算符 $b$ 和升高算符 $b^\dagger$ ：

Q=\sqrt{\frac{\hbar}{2\omega}}(b+b^\dagger),\qquad P=-i\sqrt{\frac{\hbar\omega}{2}}(b-b^\dagger),\qquad [b,b^\dagger]=1.

代回哈密顿量，含两个升高算符或两个降低算符的项相消。剩下的乘积用 $bb^\dagger=b^\dagger b+1$ 整理，得到

H=\hbar\omega\left(b^\dagger b+\frac12\right),\qquad E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right).

整数 $n$ 记录激发数。基态满足 $b|0\rangle=0$ 。坐标与动量的不确定度乘积有一个非零下限，由它们的对易子决定。

平均为零，分布仍有宽度

基态中， $b$ 和 $b^\dagger$ 的平均值都为零，因此 $\langle Q\rangle=0$ 。但计算 $Q^2$ 时， $bb^\dagger$ 会贡献一， $b^\dagger b$ 才贡献零。于是

\langle Q^2\rangle_0=\frac{\hbar}{2\omega},\qquad \langle P^2\rangle_0=\frac{\hbar\omega}{2}.

动能和势能各占零点能的一半。对于激发数为 $n$ 的态，坐标方差变为 $\hbar(n+1/2)/\omega$ 。

例如，采用 $\hbar=1$ 、 $\omega=2$ 的参考单位。真空能量为 $1$ ，坐标方差为 $0.25$ 。加入三个激发后，能量变为 $7$ ，方差变为 $1.75$ 。激发态在远离中心的位移上分配了更多概率。

这里的方差来自反复制备同一种状态，再测量位移。静止基态并没有提供一条经典轨迹，让坐标按照测量分布依次跑过各个位置。

把同一做法用于每个场模

先把各格点坐标按质量归一化，有限链的二次势能就可以写成矩阵。选取这个矩阵的一组正交归一特征向量，每个向量都描述一种保持自身形状的振动模式。换到这些坐标后，哈密顿量分解为独立振子之和：

H=\frac12\sum_\alpha\left(P_\alpha^2+\omega_\alpha^2Q_\alpha^2\right).

对每一对坐标和动量量子化，就得到各自独立的激发数。在第 $\alpha$ 个模式里增加一个量子，能量增加 $\hbar\omega_\alpha$ 。具有平移对称性的系统还可以选取动量确定的行波模式。模式激发携带确定的能量与动量，这便是自由场的粒子解释。

对相对论实标量场，采用自然单位 $\hbar=c=1$ ，空间动量为 $k$ 的模式具有频率 $\omega_k=\sqrt{k^2+m^2}$ 。 $m$ 是静止能量尺度。第一章中连接支架的振动频率扮演了相似的数学角色；弹簧链与相对论场仍是不同的物理系统。

欧氏实验为什么使用另一种协方差

质量归一化量子模的等时真空方差是 $1/(2\omega_\alpha)$ 。若抽样概率由高斯作用量 $S_E=\phi^{\mathsf T}K\phi/2$ 给出，协方差却是 $K^{-1}$ 。这两个式子对应不同的问题。

连接它们的一条路是虚时间。对于处于基态的单个振子，在两次坐标算符之间插入衰减演化因子 $e^{-H|\tau|}$ ，并去掉共同的真空能量。自然单位下， $Q$ 作用在真空上只会产生一个能量为 $\omega$ 的激发，因此欧氏关联为

G_E(\tau)=\langle0|Qe^{-(H-E_0)|\tau|}Q|0\rangle=\frac{e^{-\omega|\tau|}}{2\omega}.

它也恰好是无限欧氏直线上微分算符 $-\partial_\tau^2+\omega^2$ 的逆核。一维欧氏标量路径便能帮助我们研究振子的虚时间关联。周期有限区间对应有限逆温度，固定端点则给路径施加端点条件。把周期区间延长到无限，才逐渐消去热修正。

欧氏关联 Lab 抽样的正是这种一维高斯路径分布。横坐标可以按页面约定理解为欧氏坐标，或统计场的位置；回放推进的是样本编号。若要模拟具有一个空间维度的标量场等时真空，空间模必须改用 $1/(2\omega_k)$ 的协方差。

先预测关联能延伸多远

打开关联 Lab 前，先判断：质量参数加倍，欧氏关联怎样衰减？在无限直线的连续极限下，衰减长度减半。有限格距下则是 $\xi_a=a/[2\operatorname{arsinh}(am/2)]$ ，只有 $am$ 很小时才接近 $1/m$ 。采用参考单位，格距取 $0.125$ ，比较质量 $0.5$ 与 $1$ ；再保持格距不变、增加格点数，检查边界影响。区间较短时，应与有限区间解析参考比较。

练习

多放一个量子，能量增加多少？

参考单位下 $\omega=3$ 、 $\hbar=1$ 。激发数从二变为五，能量增加多少？

答案与理由

增加 $3\hbar\omega=9$ 。两个能量都含同一项零点能，相减时抵消。对某个固定模式，每增加一个激发，能量就上升一个相同台阶。

平均场能认出真空吗？

基态和第一激发态的位移平均值都为零。还可以测什么来分辨它们？

答案与理由

反复制备并测量位移方差或能量。两态的坐标方差分别为 $\hbar/(2\omega)$ 和 $3\hbar/(2\omega)$ 。相同的零均值，可以对应很不一样的概率分布。

新模拟应该抽哪一种分布？

有人按方差 $1/(k^2+m^2)$ 抽取空间 Fourier 振幅，并把图标成“一维空间标量场的等时真空”。怎样修改才准确？

答案与理由

质量归一化的正则模在等时真空中的方差为 $1/(2\sqrt{k^2+m^2})$ 。原来的方差属于欧氏高斯统计分布。程序需要改变抽样分布，或明确说明自己计算的是哪一种欧氏模型，并列出归一化与边界条件。

动手探索

欧氏场的两点关联 →在场的样本上拉开两个探针，观察两点关联怎样随距离减弱。把许多组场样本给出的估计，与格点解析值和连续极限比较。

来源与核读范围

David Tong, Quantum Field Theory, Chapter 2
核读第 2.1—2.7 节：谐振子量子化、自由标量场模、真空双点函数和类空间隔的对易子。
David Tong, Statistical Field Theory, Chapter 2
核读高斯积分、逆核关联函数、关联长度和欧氏量子力学解释。有限链的归一化按本课程约定另行推导。