读懂 Wilson–Fisher 流图

微观细节不同的模型，如果粗粒化后走向同一个不动点，就可能拥有相同的长距离临界行为。Wilson–Fisher 计算在略低于四维的实标量场中，把这个想法变成了可以计算的参数流。它也解释了为什么要调节温度之类的参数，才能靠近临界点：附近有一个方向会把偏离不断放大。

先读保留低能预测和有限尺寸标度。这里需要有效作用量、关联长度和临界指数的概念。接下来先把“参数随尺度改变”写成微分方程，再用局部线性近似判断哪些偏离会增长。

把尺度当作新的自变量

考虑一个实标量场：所有场值同时变号，概率不变。欧氏作用量包含梯度项、质量项，以及正的四次相互作用项。积分掉一段高动量模式后，各项系数会改变。再缩放坐标和场，把动量截断与梯度归一化恢复到相同约定，前后两组参数才方便比较。

记观察长度放大的倍数为 $\zeta$ ，取 $s=\log\zeta$ 。 $s$ 增大表示走向更长距离，也就是红外方向。使用无量纲质量参数 $r=\mu^2/\Lambda^2$ ，以及 $u=9\widetilde g/(2\pi^2)$ 。其中 $\Lambda$ 是恢复后的动量截断， $\widetilde g$ 是 Tong 约定下四次项 $\widetilde g\phi^4$ 的无量纲系数。数值计算把截断取为一。

空间维度写成 $d=4-\epsilon$ ， $\epsilon$ 是小的正数。非整数维度出现在解析延拓的公式里，并不是说前面那条一维格点环突然变成了分数维空间。

先不算相互作用，仅从缩放就能看出趋势。把梯度项保持归一化后，质量项随 $\zeta^2$ 增长，四次项随 $\zeta^{4-d}$ 增长，它们的变化率因此含有 $2r$ 和 $\epsilon u$ 。短波涨落积分带来圈图修正。按 Tong《统计场论》3.5节印刷页90的单圈方程，换成上述变量可得

\frac{dr}{ds}=2r+\frac{u}{3(1+r)},\qquad \frac{du}{ds}=\epsilon u-\frac{u^2}{(1+r)^2}.

右边叫 beta 函数，意思是参数随尺度变化的速率。它给参数平面上的每一点安排一个箭头；沿着箭头走，就得到一条粗粒化轨迹。

找一个走到那里就不再改变的点

不动点要求两个 beta 函数同时为零。原点 $r=u=0$ 是高斯不动点。若寻找正耦合的不动点，第二个方程给出

u_* =\epsilon(1+r_*)^2.

将它代入第一个方程，便有 $2r_*+\epsilon(1+r_*)/3=0$ 。解得所列截断方程的非零不动点：

r_*=-\frac{\epsilon}{6+\epsilon},\qquad u_*=\epsilon\left(\frac6{6+\epsilon}\right)^2.

只保留小参数的一阶时，它们是 $r_*=-\epsilon/6+O(\epsilon^2)$ 、 $u_*=\epsilon+O(\epsilon^2)$ 。小 $\epsilon$ 让不动点仍停在小耦合处，微扰计算才有可控制的起点。

取 $\epsilon=0.1$ 做一道例题。截断方程给出 $r_*\approx-0.0163934$ 、 $u_*\approx0.0967482$ 。把这两个数代回 beta 函数，得到的变化率在数值舍入范围内为零。上面的分式展开后会包含更高次的 $\epsilon$ ，这是精确求解截断方程留下的代数结果，并没有额外算出高圈修正。

附近的偏离会怎样

找到不动点，还要问周围的轨迹会不会靠近它。写 $r=r_*+\delta r$ 、 $u=u_*+\delta u$ ，把 beta 函数对小偏离展开到一次项。由各个偏导数组成的矩阵，描述局部流向：

J=\begin{pmatrix}2-\epsilon/3&1/[3(1+r_*)]\\2\epsilon^2(1+r_*)&-\epsilon\end{pmatrix}.

左下角从 $\epsilon^2$ 起才出现。保留小参数的一阶时，两个本征值为 $y_t=2-\epsilon/3$ 和 $y_u=-\epsilon$ 。每个本征向量给出质量与耦合偏离的一种组合；沿那个方向，偏离随 $e^{ys}$ 改变。

正本征值让偏离越走越大，称为相关方向。负本征值让偏离逐渐缩小，称为无关方向。Wilson–Fisher 点附近各有一个。热方向通常混合了原来的两个参数，并不必然沿图上的横轴或纵轴。

调参和普适性现在有了同一幅图像。把相关方向的偏离调得足够小，轨迹就能在不动点附近停留更多尺度。沿无关方向带来的微观差异则逐渐衰减。起点虽然不同，长距离的临界指数仍可能相同。

从局部流向算出临界指数

用 $t$ 表示沿热方向离临界点的无量纲距离。尺度放大 $\zeta$ 后，它变成 $\zeta^{y_t}t$ 。等这个量长到一的量级，就离开了临界附近。由 $\zeta^{y_t}|t|\sim1$ 解得 $\zeta\sim|t|^{-1/y_t}$ 。关联长度随同一个倍数增长，于是

\xi\sim|t|^{-\nu},\qquad \nu=\frac1{y_t}=\frac12+\frac{\epsilon}{12}+O(\epsilon^2).

最后一步把倒数也一致地展开到一阶。 $\epsilon=0.1$ 时，这一阶结果为 $\nu\approx0.508333$ 。

磁化率把空间中的连通关联加在一起。临界关联若随距离的 $-(d-2+\eta)$ 次方衰减，并在距离 $\xi$ 附近被截断，空间积分就随 $\xi^{2-\eta}$ 增长。这给出 $\gamma=\nu(2-\eta)$ 。这个标量展开的反常指数 $\eta$ 从二阶才开始贡献，得到

\gamma=1+\frac{\epsilon}{6}+O(\epsilon^2).

同样取 $\epsilon=0.1$ ，一阶值为 $1.016667$ 。系数 $1/6$ 也正是 Wilson 与 Fisher 1972年论文《3.99维中的临界指数》官方出版摘要给出的 Ising 类磁化率结果。

读一张重算的流图

打开粗粒化与重整化参数流下方的流图。它按 Tong 印刷页91图30背后的方程重新积分。原图是示意图，这里的曲线来自方程计算，没有数字化原图坐标，也没有使用实验数据。

默认 $\epsilon=0.1$ ，金色起点为 $r=-0.011$ 、 $u=0.065$ 。拖动这个点，先预测哪个方向的改变会让轨迹更快离开不动点附近，再看轨迹与周围箭头怎样对应。两轴都把参数除以 $\epsilon$ ，改变小参数时仍能看清小耦合附近的结构。

导出参数流 CSV，里面保存变量约定、小参数、步长和尺度坐标。参考轨迹采用四阶 Runge–Kutta，步长为 $0.025$ 。步长减半后，在 $s=1$ 处的质量坐标只改变约 $8.85\times10^{-11}$ 。这检验了数值积分的精度；公式略去的高圈项仍是另一种误差。

这次来源核读也有明确范围：Tong 的方程和图30已读，APS 出版摘要用于检查历史上的一阶指数。Wilson 与 Fisher 1972 年论文的完整 PDF 需要授权，这里的历史对照限于已读到的摘要结果。随数据保存的来源说明列出了计算参数和核读状态。

单圈标量场流图：调到临界后的轨迹靠近 Wilson–Fisher 不动点，附近一条保存的轨迹沿相关方向离开。 — 按 Tong 图 30 的方程独立积分，取 $\epsilon=0.1$ 。橙线直接使用保存的 CSV 数据，青线显示调到临界后沿稳定方向的靠近过程。点击可看大图。矢量图

照着论文，做一次离散递推

Wilson 与 Kogut 1974年的已发表综述，给了我们另一种走法：每次把观察尺度直接放大两倍。第4节图4.5位于印刷页108，一条调到临界的序列靠近不动点，旁边两条则转向不同的方向。按印刷页106的式(4.26)–(4.27)逐步计算，就能重画这种结构。

每一步先积分掉动量截断 $1/2$ 到 $1$ 之间的壳层，再把截断恢复到一。为了区分前面的耦合约定，把论文中的四次系数记为 $u_{\mathrm W}$ ，改用 $v=9c u_{\mathrm W}$ 。这里 $c=4\int_{1/2<|p|<1}d^d p/(2\pi)^d$ 是正的壳层体积因子。论文的截断递推式便成为

r_{n+1}=4\left[r_n+\frac{v_n}{3(1+r_n)}\right],\qquad v_{n+1}=2^\epsilon\left[v_n-\frac{v_n^2}{(1+r_n)^2}\right].

下图取 $\epsilon=0.1$ 。调到临界附近的初值为 $v_0=0.16$ 、 $r_0\approx-0.0736025858656632$ 。先代入一次，得到 $r_1\approx-0.0641276051060$ 、 $v_1\approx0.139513337325$ 。继续递推，会靠近这组截断方程的不动点 $r_*\approx-0.0289028753$ 、 $v_*\approx0.0631518729$ 。原文的示意图没有给出数值初值；这里选定数值，重算靠近临界与离开临界的三条轨迹。

只改一个量试试：保持 $v_0$ ，把 $r_0$ 增加 $2\times10^{-9}$ 。先预测走向，再比较橙色B与绿色A；同样大小的减少画成紫色C。B、C起先都走向不动点附近，到第13步已经转向两侧。A则在保存的190步内继续靠近。配套记录保留了各步坐标和完整精度的初值。

为什么这么小的改动也会分开？把离散递推式线性化，得到约为 $0.923935$ 和 $3.91500$ 的两个倍率：一个让偏离每步缩小，另一个让偏离每步增长。这里一次迭代就把长度放大两倍，因此 $y_t=\log\lambda_t/\log2$ ， $\nu=\log2/\log\lambda_t$ 。一致地展开到一阶，仍得到论文中的 $\nu=1/2+\epsilon/12+O(\epsilon^2)$ ，与前面的连续计算相符。直接解这组截断递推式得到的代数值，在 $\epsilon=0.1$ 时约为 $0.507869$ ，其中还含有超出一阶的项。

临界轨迹也会放大舍入误差。CSV因而保存180位运算精度；若把初值四舍五入后用普通精度长时间递推，也可能离开A。数值检查比较了更高精度，以及离不动点更近的终端条件。物理预测仍受递推式略去项的限制。这里复现的是论文图4.5的临界与离开轨迹结构，以及一阶临界指数；参数和递推值都可以重算。

两种算法的不动点坐标为什么不同？

连续方程与有限步递推采用不同的耦合约定和壳层近似，不动点坐标会依赖这些约定。计入每步长度放大两倍后，一阶热指数仍然相同。比较时应先看这个指数，以及偏离增长或缩小的方向，再比较原始坐标。

Wilson 与 Kogut 的离散单圈递推：调到临界的序列靠近不动点，附近序列向两侧离开。 — 按 Wilson 与 Kogut（1974）式 4.26—4.27 新算的轨迹，重现图 4.5 的定性结构，取 $b=2,\ \epsilon=0.1$ 。所选参数与数值序列另行保存；论文示意图没有可供数字化的坐标数据。矢量图 ·保存的数值序列

哪些改变会让普适性改变

对称性、维度、相互作用距离，会影响理论能够走向哪些不动点。有变号对称性的标量场，与具有连续旋转对称性的向量场，可能拥有不同的临界行为。长程相互作用也可能让原先无关的项变得重要。如果转变是一阶的，轨迹还可能根本不会靠近这里讨论的临界不动点。

小 $\epsilon$ 计算控制的是略低于四维的邻域。直接代入 $\epsilon=1$ ，本身不能给出精密的三维指数。数值有限尺寸标度等方法，需要另外处理各自的误差。Poland、Rychkov、Vichi 的共形自举综述介绍了另一条路：利用共形不动点处关联函数必须满足的一致性条件，限制可能的理论。它是后续阅读入口，这个实验没有执行自举计算。

练习

在参数流方程中令耦合为零，解出质量参数随 $s$ 的变化，并说明高斯热本征值是什么。
取 $\epsilon=0.06$ ，计算一阶 $\nu$ 和 $\gamma$ 。若把它们当作物理预测，应该怎样解释小数位？
两个格点作用量有不同的高阶导数项，但对称性相同，且相互作用都是短程的。它们还需满足什么条件，才能拥有相同临界指数？
有人将 $\epsilon=1$ 时的一阶公式积分得极其精确，报出许多位小数。指出两种不同误差，并说明减小步长处理了哪一种。

解释性答案

耦合为零时， $dr/ds=2r$ ，解为 $r(s)=r(0)e^{2s}$ 。本征值是 $2$ ；高斯关联长度指数是其倒数 $1/2$ 。

一阶公式给出 $\nu=0.505$ 、 $\gamma=1.01$ 。它们是指定截断展开的数值。修正从 $\epsilon^2$ 起出现，系数没有由这次计算确定；增加小数位不会自动增加物理准确度。

调好相关方向之后，两者必须处在同一临界不动点的吸引区域。共同的对称性和短程性提供线索，却不能排除另一个不动点、一阶转变或额外的相关参数。

积分误差来自求解微分方程的数值方法；高圈截断误差来自建立方程和指数公式时的近似。步长变小会减少前者，并不能约束 $\epsilon=1$ 时的后者。

动手探索

粗粒化与重整化参数流 →隔一个站点保留一个场值，把中间的自由度积分掉。用两个长波模式确定参数，再拿没有参与匹配的第三个模式检验预测。有限尺寸标度 →比较五种长度的高斯场。先拿小格点调出一张漂亮的图，再揭开大格点的数据，看原来的预测还能不能成立。

来源与核读范围

David Tong, Statistical Field Theory, Chapter 3, §3.5, Figure 30
核读四维附近的一圈 Wilson–Fisher 流，第 90—91 页、图 30。Lab 按方程重画相图，另存参数和积分收敛检查。
K. G. Wilson and J. Kogut, The Renormalization Group and the Epsilon Expansion, Physics Reports 12(2), 75–199 (1974)
核读已发表综述第 4 节的式 4.26—4.27、图 4.5（第 106—108 页）及式 4.50（第 111 页）。正文按明确给定的参数复算离散单圈递推与流图结构，不把示意图当作带坐标的原始数据。
K. G. Wilson and M. E. Fisher, Critical Exponents in 3.99 Dimensions, Phys. Rev. Lett. 28, 240 (1972)
核对出版方摘要中的磁化率临界指数首阶结果，用于历史对照。出版方全文未能访问，复算范围限于这里明确列出的结果。
D. Poland, S. Rychkov and A. Vichi, The Conformal Bootstrap, arXiv:1805.04405v3 (2019)
核对摘要、版本和发表记录。作为非微扰临界理论的继续阅读入口；课程不复现 bootstrap 界限或数值岛。