把欧氏场放到格点上

理想解析参考，采用无量纲参考单位。

G(s)=e^{-m\lvert s\rvert}/(2m),\quad m=1,2

图中为无限直线上的欧氏关联；Lab 中的有限体积样本有单独的参考。

把场放到有限格点上，会改变我们计算的分布；只取有限组样本，又会让这个分布的估计带上起伏。分清这两件事，才知道该怎样改进计算。增加样本压低统计误差，缩小格距检验短距离近似，扩大区间检验边界的影响。

先修是本课程的经典场、自由场量子化两章，以及均值和方差的概念。下面会用矩阵简写相互耦合的二次项，并解释矩阵中每个数从哪里来。学完以后，你应能分别设计格距、体积和采样误差的检验。

用相邻格点代替连续变化

先研究直线上的一个实数场。选一个参考长度 $\ell_0$ ，长度以它为单位，质量参数以 $1/\ell_0$ 为单位，场值以 $\sqrt{\ell_0}$ 为单位。采用自然单位后，欧氏作用量无量纲。后面的数值都按这套单位表示。

设格距为 $a$ ，质量参数为 $m>0$ 。把 $N$ 个格点首尾相接，得到长度为 $L=Na$ 的周期圆环。相邻场值之差除以格距，近似连续场的导数。再把空间积分换成每个格点贡献的总和，就有

S_E=\frac a2\sum_{j=0}^{N-1}\left[\left(\frac{\phi_{j+1}-\phi_j}{a}\right)^2+m^2\phi_j^2\right],\qquad \phi_N=\phi_0.

相邻位置的场值差得越多，作用量就越大。采样概率满足 $P(\phi)\propto e^{-S_E}$ ，因此这样的场较少出现。邻近场值常常一起偏正、一起偏负，空间关联由此产生。

这里的坐标是欧氏坐标。把它理解成虚时间，就得到量子谐振子的路径积分：周期区间对应有限温度，区间越来越长时趋向基态；两端固定则要求路径经过指定端点。一维空间中量子场的等实时间关联采用另一个模式权重 $1/(2\omega_k)$ 。本章计算的是一维欧氏二次作用量的逆算符。

在采样之前，先求出关联

把相邻差的平方展开。每个内部场值的平方出现在两条键中，合起来给出对角系数 $2/a+am^2$ ；每对邻居的非对角系数是 $-1/a$ 。把这些系数排成矩阵 $A$ ，作用量就写成 $S_E=\phi^TA\phi/2$ 。矩阵在这里所做的事，是把“哪个位置和哪个位置相连”整齐地记下来。

定义协方差矩阵 $C_{ij}=\langle\phi_i\phi_j\rangle$ 。它满足 $AC=I$ ，也就是 $C=A^{-1}$ 。这个关系可以直接推出来：对 $\phi_j e^{-S_E}$ 求关于 $\phi_i$ 的导数，再对所有场值积分。正的二次作用量让无穷远边界项消失。导数分别作用到两个因子，得到 $\delta_{ij}-\sum_kA_{ik}\langle\phi_k\phi_j\rangle=0$ ，这正是所需的矩阵关系。

圆环上，每走一个格点相位增加 $2\pi q/N$ 的模式，会把相邻差分算符化成数 $4\sin^2(\pi q/N)/a$ 。每个模式独立贡献一部分关联，把它们加起来：

G_n=\frac1N\sum_{q=0}^{N-1}\frac{\cos(2\pi qn/N)}{am^2+(4/a)\sin^2(\pi q/N)}.

$n$ 数的是相隔多少个格距，实际距离为 $r=na$ 。这条曲线是有限格点上的精确预测，不需要先取样。实验台用矩阵分解和三角方程抽出场，再与另行计算的模式求和比较。

同一个距离，为何有三个数值

取 $N=48$ 、 $a=0.25$ 、 $m=0.75$ ，圆环长度就是 $L=12$ 。研究相距 $r=1.5$ 的两点，需要隔开 $n=6$ 个格距。模式求和给出 $G_6=0.216126$ ，单位为 $\ell_0$ 。

如果把格点换成连续圆环，但保留同样的长度，关联为

G_L(r)=\frac{e^{-mr}+e^{-m(L-r)}}{2m(1-e^{-mL})}.

代入以后得到 $0.216715$ 。分子里的第二个指数项，来自绕圆环另一侧返回的路径。这两个数分别是格点模型和连续模型的确定预测。

再看实际采样。默认记录的模型版本为 gaussian-chain-1.0.0，种子为 $314159$ ，共取 $1024$ 组独立场样本。每组都把两个探针处的场值相乘，然后平均，得到 $\widehat G=0.238240$ ，标准误差为 $0.022873$ 。它比格点解析值高约 $0.97$ 个标准误差，是这份记录中的一次普通统计起伏。

格点值与连续值只差 $0.000589$ ，远小于这次采样的误差。换一个种子，金点会挪动，两条参考线之间的距离却保持原样。要从样本里清楚分辨这么小的差异，需要显著提高统计精度。

样本有记忆时，误差为什么变大

为了单独研究采样记忆，实验台按下面的规则更新整组场：

\phi_{s+1}=\rho\phi_s+\sqrt{1-\rho^2}\,\eta_s,\qquad \eta_s\sim\mathcal N(0,C).

每组 $\eta_s$ 都独立抽取。第一组场也直接从目标高斯分布抽出，因此采样一开始就处于平稳分布。 $s$ 数的是样本更新次数。 $\rho=0$ 时，每次都完全换一组场； $\rho$ 越大，相邻样本越相似。

用 $Y_s$ 表示第 $s$ 组样本中两个探针处场值的乘积。高斯分布的四阶矩关系给出 $\operatorname{Corr}(Y_s,Y_{s+k})=\rho^{2k}$ 。要算均值的方差，先把均值平方展开成所有样本对的求和。间隔为正整数 $k$ 的样本对有 $M-k$ 个，负间隔还有同样多。最后除以 $M^2$ ，得到

\operatorname{Var}(\overline Y)=\frac vM F_M,\qquad F_M=1+2\sum_{k=1}^{M-1}(1-k/M)\rho^{2k},

其中 $v$ 是单个乘积的方差。独立采样时 $F_M=1$ ；存在记忆时，有效样本数减少为 $M/F_M$ 。例如 $M=1024$ 、 $\rho=0.9$ ，则 $F_M=9.48249$ ，有效样本数约为 $108$ 。

通常的样本方差 $s^2$ 在这条相关链上也会略微偏低，其期望为 $v(M-F_M)/(M-1)$ 。把这个偏差修正回来，实验台报告的标准误差为

\widehat{\mathrm{SE}}^2=\frac{s^2(M-1)}{M-F_M}\frac{F_M}{M}.

这里采用采样器已知的相关关系。图中金色自相关曲线则直接从保存的两点乘积估计，有限样本让它在参考线周围起伏。

让每次操作只回答一个问题

打开欧氏场的两点关联。每次改动前先写下预测，再比较数值。

研究统计起伏时，保持格点设置不动，只换采样种子。金点会移动，两条参考线不变。再增加保留样本数，用几个不同种子比较移动幅度是否减小。
研究格距时，比较 $(N,a)=(24,0.5),(48,0.25),(96,0.125)$ 。这次必须同时改两个输入，才能保持总长 $L=12$ 。距离仍取 $r=1.5$ ，探针间隔相应为 $n=3,6,12$ 。格点预测依次是 $0.214401$ 、 $0.216126$ 、 $0.216567$ ，逐渐接近连续值。
研究体积时，固定周期边界、格距和质量，只增加格点数，保持探针间隔不变。圆环变长以后，绕另一侧返回的贡献逐渐减弱。

改变设置前导出记录。文件保留每组场值、种子和模型版本，另一份程序可以从这些场值重新计算关联。

练习

独立样本数变成四倍，标准误差和格距误差分别怎样变化？

解释

标准误差与 $M^{-1/2}$ 成正比，因此减半。格点分布没有改变，它与连续分布之间的差异保持原样。

一位同学研究单个位置的场值均值，采用 $\rho=0.9$ 。他能直接照搬两点乘积的有效样本数吗？

解释

单个场值的间隔相关为 $\rho^k$ ，两点乘积则为 $\rho^{2k}$ 。长记录中，前者的方差增大倍数趋于 $(1+\rho)/(1-\rho)=19$ ，后者趋于 $(1+\rho^2)/(1-\rho^2)\approx9.53$ 。单场值均值的有效样本数更少。采样效率取决于所研究的量。

固定格距，把格点数加倍后，关联曲线移动了。再设计一组比较，区分体积和分辨率的影响。

解释

第一次改动把区间长度加倍。接着选定一个物理长度，把格距减半、格点数加倍，同时保持探针间的物理距离。这一对计算隔离了分辨率的影响。每种设置多换几个种子，可以看清围绕各条曲线的统计起伏。

高斯关联与逆算符的关系见 Tong《Statistical Field Theory》2.2 节。自相关怎样进入均值误差，见 Wolff《Monte Carlo errors with less errors》第 4 版，式 21—25。

动手探索

欧氏场的两点关联 →在场的样本上拉开两个探针，观察两点关联怎样随距离减弱。把许多组场样本给出的估计，与格点解析值和连续极限比较。

来源与核读范围

David Tong, Statistical Field Theory, Chapter 2
核读高斯积分、逆核关联函数、关联长度和欧氏量子力学解释。有限链的归一化按本课程约定另行推导。
U. Wolff, Monte Carlo errors with less errors, arXiv:hep-lat/0306017v4
核读式 21—25 中的自相关和均值方差。这里给定高斯采样器的有限记录修正另在正文推导，并用多条独立记录检查。