FR01 · 场的邻居彼此呼应

欧氏场的两点关联

自由场的涨落能在多远的两点之间保持关联？ 质量参数越小，两点之间的关联能延伸得越远。边界和有限格距也会改变关联曲线；增加样本能缩小统计误差，却消不掉这两种影响。

在场的样本上拉开两个探针，观察两点关联怎样随距离减弱。把许多组场样本给出的估计，与格点解析值和连续极限比较。

探针距离 $1.5$

样本关联 · 一个标准误差 $0.238\pm0.0229$

有效样本数 · 采样器解析值 $1024$

无限格点关联长度 $1.34$

许多组样本告诉我们什么

距离拉开，关联减弱

金色：样本与标准误差；青色：格点解析值；紫色：连续极限。

$r/\ell_0\quad\longrightarrow\quad G(r)/\ell_0$

样本之间也会有记忆

金色：样本自相关；青色：采样器预测。

$k\quad\longrightarrow\quad\rho^{2k}$

单位、误差与模型

一维欧氏模型描述谐振子的路径：周期区间对应有限温度，固定边界则给路径指定端点。回放推进样本编号，场的高度会自动放大。

进入页面即载入 1024 组场样本。

金点及误差棒为样本均值和一个标准误差；青线为格点解析值；紫色虚线为同样边界和长度下的连续极限。

金线为所选两点乘积的样本自相关，青线为采样器解析预测；横轴数的是采样更新次数。

长度以任选的参考长度为单位，场以该长度的平方根为单位，作用量和采样权重都无量纲。在一维欧氏坐标下，这也对应谐振子的虚时间路径积分。

x_j=ja,\quad S_E=\frac{a}{2}\sum_j\left[\left(\frac{\phi_{j+1}-\phi_j}{a}\right)^2+m^2\phi_j^2\right],\qquad P(\phi)\propto e^{-S_E}

圆环上每个格点连向下一个格点；固定边界在采样区间两端各加一个值为零的格点。青色参考点位于内部格点的四分之一处，金色探针从这里向右移动。

\widehat G(r)=\frac1M\sum_{s=1}^M\phi_{j_0}^{(s)}\phi_{j_0+r/a}^{(s)},\quad\phi^{(s+1)}=\rho\phi^{(s)}+\sqrt{1-\rho^2}\,\eta^{(s)},\quad\eta^{(s)}\sim\mathcal N(0,A^{-1})

第一组场就从目标高斯分布精确抽出。这个采样器的两点乘积在每次更新后的相关系数等于记忆系数的平方。误差棒采用这个已知关系，并计入有限记录长度。

F_M=1+2\sum_{k=1}^{M-1}\left(1-\frac{k}{M}\right)\rho^{2k},\quad M_{\mathrm{eff}}=\frac{M}{F_M},\quad\widehat{\mathrm{SE}}^2=\frac{s^2(M-1)}{M-F_M}\frac{F_M}{M}

假设样本独立时的标准误差 $0.0229$

方差增大倍数 $1$

区间长度 $12$

Nyquist 截断波数 $4\pi$

模型是有限区间上的有质量自由场。统计误差、有限格距和有限体积是三件不同的事。导出的 JSON 保存每组场样本、种子、边界和模型版本；实时间量子测量需要另一套描述。

David Tong · 高斯关联，2.2 节 · Ulli Wolff · Monte Carlo 误差，第 2 节

先抓重点

核心问题: 怎样分清采样起伏和格点带来的误差？
一句话直觉: 增加样本能压低统计起伏；研究格距和体积时，要分别改变它们。

核心数学模型

从保存的场样本估计关联

\widehat G(r)=\frac1M\sum_{s=1}^{M}\phi_{j_0}^{(s)}\phi_{j_0+r/a}^{(s)}

每一项都取自同一组场样本：青色点的场值乘以金色点的场值。

周期格点上的解析值

G_n=\frac1N\sum_{q=0}^{N-1}\frac{\cos(2\pi qn/N)}{am^2+(4/a)\sin^2(\pi q/N)}

有限求和包括圆环上全部允许的模式。最高波数为 $\pi/a$ 。

无限格点上的关联长度

\xi_a=\frac{a}{2\operatorname{arsinh}(am/2)}\longrightarrow\frac1m\quad(a\longrightarrow0)

格距会改变关联衰减的长度。圆环有限大时，另一条绕回来的路径还会增加关联。

常见难点

均值与乘积的均值

容易误解两个位置各自的均值都是零，乘积的均值也该是零。

正确理解两个场值属于同一组样本。如果它们经常一起偏正或一起偏负，乘积就更常为正，平均以后仍留下正关联。

样本多，信息未必同样多

容易误解保存一千组场，就一定相当于一千次独立采样。

正确理解相邻样本可能保留了大半相同的场。这种记忆增大均值的误差；有效样本数报告当前采样器因此损失了多少信息。

动手实验

01
先猜，再拉开两点
保留默认设置，把金色探针逐渐拖离青色参考点。
你会看到： 关联随距离减弱。关联小时，误差棒相对显得更大。
02
保持长度，改变格距
先设格距为 0.5、格点数为 24，再与格距为 0.25、格点数为 48 比较。
你会看到： 两个周期圆环的长度都是 12，格点解析曲线的差别来自分辨率。
03
让样本保留记忆
选择“相邻样本有记忆”，把有效样本数与“采样设置”中的保留样本数比较。
你会看到： 自相关衰减变慢；要达到独立采样时的误差，需要保留更长的记录。