Quantum Lab 04 · 同一种形状，不同的能级

场的模式与量子化

怎样从连续的场，得到一个个离散的粒子激发？ 模式决定空间形状和频率，占据数决定在这个模式里加了几份等量能量。占据数为零时，振子的分布仍有宽度；粒子数确定的数态，其概率分布不随时间改变。

拖动两端固定的场模，再选择量子占据数，比较波长、能量与定态振子的坐标概率分布。

频率

\omega_k/\omega_1

$1$

波长

\lambda/L

$2$

能量

E/(\hbar\omega_1)

$1.5$

坐标均方根

\sqrt{\langle q^2\rangle}

$1.22$

量子态也有自己的分布形状

1 个量子

坐标概率分布

同一种数态反复制备后，坐标测量的精确概率密度。

$q=Q_k\sqrt{\omega_1/\hbar}\quad\longrightarrow\quad p_{k,n}(q)$

能级阶梯

拖动金色能级，或用方向键选择量子数。

$E/(\hbar\omega_1)=k(n+1/2)$

画面表示什么

这是两端固定的理想无质量场，所选模式处于数态。青线是峰值归一为一的空间模式函数。静止的紫色带表示所选模式的一个空间均方根宽度，使用固定示意增益；其他模式未计入。它表示分布宽度，不是置信区间。

u_k(x)=\sin(k\pi x/L),\qquad\omega_k=k\omega_1,\quad\omega_1=\pi c/L

\langle Q_k\rangle_n=0,\qquad\langle q^2\rangle_n=(n+1/2)/k

数态随时间只改变整体量子相位，图中的概率密度因此保持静止。坐标按质量归一化，频率与能量读数始终使用基频作参考。

X=\sqrt{k}\,q,\quad p_{k,n}(q)=\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{\pi}\,2^n n!}H_n(X)^2e^{-X^2}

MIT 8.04 · 第 8 讲，定态与归一化振子波函数 · NIST · Hermite 正交关系

继续阅读：怎样把一个模式量子化 →

先抓重点

核心问题: 换模式会改变什么？多加一个量子又会改变什么？
一句话直觉: 模式决定波长和频率，占据数决定这个振子的量子态与定态概率分布。

核心数学模型

两端固定的空间模式

u_k(x)=\sin(k\pi x/L),\qquad\omega_k=k\omega_1,\quad\lambda_k=2L/k

整数 $k$ 数的是区间里有几个半波长。青线展示这个空间基函数，峰值归一为一。

用同一个基频比较能量

E_{k,n}=\hbar\omega_1 k(n+1/2)

每加一个量子，能量增加 $\hbar\omega_k$ 。切换模式时，能量读数仍使用同一个基频作参考。

数态平均为零，分布仍有宽度

q=Q_k\sqrt{\omega_1/\hbar},\qquad\langle q\rangle_n=0,\quad\langle q^2\rangle_n=\frac{n+1/2}{k}

按质量归一化的振子坐标具有定态概率分布。即使处于真空态，均方根宽度仍然非零。

常见难点

两个整数，各有含义

容易误解波形里有三个半波长，就说明场里有三个粒子。

正确理解模式编号描述空间形状。占据数是另一个独立的量，同一模式可以没有量子，也可以放入一个或多个。

基函数与数态轨迹

容易误解青线画出了真空随时间怎样运动。

正确理解青线是展开场时使用的空间函数。数态的平均场为零，正交分量的概率密度不随时间改变。

动手实验

01
固定占据数，改变空间形状
选择“一个量子，双峰分布”，保持量子数为一，把“空间模式”从一改为三。
你会看到： 区间内多了两个节点。频率与能量变为三倍，波长降到三分之一，坐标均方根降为原来的 $1/\sqrt3$ 。
02
看看真空的宽度
选择“真空也有宽度”，观察紫色概率曲线。
你会看到： 分布是有有限宽度的高斯形状，能量仍有半份基频量子。
03
沿能级往上走
保持空间模式不变，把金色能级往上拖。
你会看到： 空间节点不动，能量一级一级等量增加。正交分量分布出现更多结构，方差也增大。