FR30-A · 只留下最强的 Schmidt 通道

矩阵乘积态压缩

一条量子自旋链，真正需要多少个数？ 如果纠缠不多，远少于全部振幅。在链上任意一处切开，都能得到一组 Schmidt 权重；每处只留最大的几个，量子态就变成矩阵乘积态。有能隙的链每处只需几个，临界链需要更多，随机态几乎一个都省不掉。

把自旋链的量子态切成矩阵乘积态，拖动键维数线。看清保留了哪些 Schmidt 权重、整体误差有多大，以及哪些局域测量仍然吻合。

范数误差平方 $5.66\times10^{-6}$

每格点能量误差 $2.22\times10^{-6}$

首尾关联误差 $1.5\times10^{-3}$

存储的数 $296\,/\,4096$

模型假设

量子态取开放横场 Ising 链的精确基态（8 到 14 个格点，用 Lanczos 对角化求得），另有一个固定种子的随机态作对照。压缩从左到右逐次做奇异值分解。范数误差与两条由舍弃的 Schmidt 尾部构成的精确界比较。关联函数直接由压缩后的向量计算，不另设模型。

误差随键维数的变化

中心切口的 Schmidt 权重

每处切口的纠缠熵

数值诊断与记录

\chi=4

所有数值都在浏览器中由精确态矢量及其压缩副本算出。记录保存各切口的 Schmidt 谱、舍弃权重和全部误差指标。

先抓重点

|\psi\rangle=\sum_{\alpha=1}^{r}\sqrt{\lambda_\alpha}\,|a_\alpha\rangle_{\rm L}\,|b_\alpha\rangle_{\rm R},\qquad \sum_{\alpha}\lambda_\alpha=1

左态彼此正交归一，右态也是。把振幅排成矩阵，行对应左段构型、列对应右段构型，对它做奇异值分解就得到这些权重。

\psi_{s_1s_2\cdots s_L}=A^{[1]s_1}A^{[2]s_2}\cdots A^{[L]s_L},\qquad A^{[j]s_j}\in\mathbb{C}^{\chi_{j-1}\times\chi_j}

从左到右反复做这种分解，每个振幅都写成一串小矩阵的乘积。每处切口最多保留固定数目的 Schmidt 权重，这个数叫键维数，它限制了每个矩阵的大小。

\max_c\,\varepsilon_c(\chi)\le\lVert\psi-\tilde\psi\rVert^2\le2\sum_c\varepsilon_c(\chi),\qquad \varepsilon_c(\chi)=\sum_{\alpha>\chi}\lambda^{(c)}_\alpha

在一处切口最多只有这么多 Schmidt 项的态，离原态不可能比该处的尾部权重更近，这给出下界。上界见 Schollwöck（2011）式 58。实验画出夹在两者之间的实测误差。

容易误解范数误差平方只有百万分之一，那每个测量量都同样精确。

正确理解可观测量的误差随范数误差本身变化，而不是随它的平方；长程关联会用掉其中最大的一份。要直接检查你关心的那个量。

01
剪开临界链
从“临界链：尾部衰减慢”开始，把金色剪刀线从上往下拖到键维数为一。
你会看到： 橙色通道被舍弃。中心处剪掉的通道越多，范数误差平方越大；误差图中的实测值始终夹在两条界之间。
02
对比有能隙的链
选“有能隙的链：尾部衰减快”，再和临界链比较中心的 Schmidt 谱。
你会看到： 权重衰减得快得多，每处只留两条通道误差就已经很小，每处的纠缠熵也更小。
03
试试猫态与随机态
选“猫态：一条通道不够”，把键维数从一调到二。最后看“随机态：没有短尾巴”。
你会看到： 猫态恰好需要两条通道。随机态即使存的数几乎和全部振幅一样多，误差仍然很大。

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