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Sandbox Physics
张量网络 · 边学边做实验

L1 · 第 2 章

一次矩阵分解，量出纠缠

把链的振幅排成矩阵：行是左段的构型，列是右段的构型。对这个矩阵做奇异值分解，态就改写成几项“左态乘右态”之和。奇异值的平方叫 Schmidt 权重，加起来等于一；这些权重的熵，就是跨过这一刀的纠缠熵。

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把一张表折成矩阵

12 个自旋的链，在第 4 个自旋后面切一刀。左段有 16 种构型，右段有 256 种。把每种完整构型的振幅放到“左段构型”那一行、“右段构型”那一列，态就变成一个 16 行 256 列的矩阵，什么信息也没丢。

如果这个矩阵的秩是一，每一行都是同一行的倍数。这时态就是一个左态乘一个右态，也就是直积态，两边互不相干。秩大于一，两边就纠缠在一起：左边测到哪种构型，会影响右边是什么样子。

Ψ(s1⋯sℓ),(sℓ+1⋯sL)=ψs1⋯sL,Ψ∈C2ℓ×2L−ℓ\Psi_{(s_1\cdots s_\ell),(s_{\ell+1}\cdots s_L)}=\psi_{s_1\cdots s_L},\qquad \Psi\in\mathbb C^{2^{\ell}\times2^{L-\ell}}

奇异值变成 Schmidt 权重

奇异值分解把矩阵写成若干个秩一矩阵之和，每一项是一列左向量乘一行右向量，再乘一个非负的奇异值。左向量彼此正交归一，右向量也是。把它们读回成量子态，就是 Schmidt 分解。Schollwöck 综述的第 4.1.1 节讲的就是这一步。

对归一化的态，奇异值的平方加起来等于一，可以当作概率看，这就是 Schmidt 权重。纠缠熵就是这组权重的熵：只有一个权重且等于一时为零；所有权重相等时最大，等于项数的对数。

∣ψ⟩=∑α=1rsα ∣aα⟩L∣bα⟩R,λα=sα2,S=−∑αλαln⁡λα≤ln⁡r|\psi\rangle=\sum_{\alpha=1}^{r}s_\alpha\,|a_\alpha\rangle_{\rm L}|b_\alpha\rangle_{\rm R},\qquad \lambda_\alpha=s_\alpha^2,\qquad S=-\sum_{\alpha}\lambda_\alpha\ln\lambda_\alpha\le\ln r

完整例题

算两个例子：两个自旋，和一个猫态

Calabrese 和 Cardy 2004 年的论文开头举了一个两自旋的例子：第一个自旋朝上、第二个朝下占一份振幅，反过来占另一份。以第一个自旋为行、第二个为列，这个矩阵只有非对角元。它的奇异值就是两份振幅的大小，Schmidt 权重是它们的平方。两个权重都是二分之一时，熵达到两个自旋所能有的最大值：2 的自然对数。

再看一条所有自旋同向的链，它处在“全部朝一个方向”和“全部朝反方向”的等权叠加上。无论在哪里切，都恰好得到两个二分之一的 Schmidt 权重，所以每一刀的纠缠熵都是 2 的对数，约 0.693。压缩实验的猫态预设取横场 0.3 的 Ising 基态，接近这个图像，它中间切口的纠缠熵是 0.6935。

cos⁡θ ∣↑↓⟩+sin⁡θ ∣↓↑⟩ ⇒ Ψ=(0cos⁡θsin⁡θ0),S=−cos⁡2θln⁡cos⁡2θ−sin⁡2θln⁡sin⁡2θ\cos\theta\,|{\uparrow\downarrow}\rangle+\sin\theta\,|{\downarrow\uparrow}\rangle\ \Rightarrow\ \Psi=\begin{pmatrix}0&\cos\theta\\ \sin\theta&0\end{pmatrix},\quad S=-\cos^2\theta\ln\cos^2\theta-\sin^2\theta\ln\sin^2\theta

临界链上的纠缠熵曲线

让切口沿链移动，记下每个位置的纠缠熵。有能隙的链，曲线离开两端不远就变平；临界链则一路向中间升高。Calabrese 和 Cardy 用共形场论推出了开放临界链上这条曲线的形状，即他们的式 (2)，系数是中心荷的六分之一；临界 Ising 链的中心荷是二分之一。

这条曲线可以不做任何近似来检验。Peschel 证明，能化成自由费米子的链（包括 Ising 链这类带配对项的链）里，一段区块的 Schmidt 权重可以直接从关联矩阵算出。用精确基态在链中间一半上拟合，32 个自旋得到的中心荷是 0.524，64、128、256 个自旋依次是 0.512、0.506、0.503，链越长越接近二分之一。DMRG 实验也画出这条曲线：中心荷固定，只拟合常数，和实际算出的纠缠熵并排比较。

S(ℓ)=c6ln⁡ ⁣[Lπsin⁡πℓL]+s0,cIsing=12S(\ell)=\frac{c}{6}\ln\!\Big[\frac{L}{\pi}\sin\frac{\pi\ell}{L}\Big]+s_0,\qquad c_{\rm Ising}=\tfrac12

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

  1. 在 DMRG 实验里运行临界 Ising 链，看纠缠柱。先预测：哪里最高？朝两端降得有多快？
  2. 换成有能隙的 Ising 链。
  3. 解释为什么有能隙链的纠缠柱离开两端就变平，而临界链的一路向中间升高。
剪断自旋链的键，看误差怎样变化 用 DMRG 来回扫描，逼近基态能量

这些实验模拟开放边界的自旋 1/2 链，能量以耦合常数为单位，时间以约化普朗克常数除以耦合常数为单位。每个实验在模型说明里写明模型和适用范围，并可导出读数背后的数据。

试着自己解释

1. 所有自旋都沿横场方向朝上的态，从中间切开。它的 Schmidt 权重和纠缠熵是多少？

展开答案与解释

这是直积态，矩阵的秩是一。只有一个 Schmidt 权重，等于一，纠缠熵为零。

2. 某个切口最多保留 4 个 Schmidt 权重。这一刀最多能承载多少纠缠熵？

展开答案与解释

四个权重相等、各为四分之一时熵最大，等于 4 的自然对数，约 1.39。

S≤ln⁡4≈1.386S\le\ln4\approx1.386

3. 为什么 32 个自旋拟合出的中心荷是 0.524，而不正好是二分之一？

展开答案与解释

这个公式描述的是长链的主导行为。短链会多出随链长衰减的修正，所以链越长，拟合值越靠近二分之一：64 个自旋时是 0.512，256 个时是 0.503。

可以放在旁边读的来源

  1. U. Schollwöck, The density-matrix renormalization group in the age of matrix product states, Annals of Physics 326, 96 (2011)

    这一领域的标准综述。第 3 节用面积律解释 DMRG 为什么在一维好用；第 4.1 节用一次次奇异值分解搭出矩阵乘积态，并在式 (58) 给出截断误差的上界；第 6 节把基态搜索写成变分扫描；第 7 节讲时间演化和它的极限。

  2. P. Calabrese and J. Cardy, Entanglement entropy and quantum field theory, Journal of Statistical Mechanics P06002 (2004)

    推导一维临界系统的纠缠熵。式 (2) 给出开放链上的纠缠熵曲线，系数是中心荷的六分之一。

  3. I. Peschel, Calculation of reduced density matrices from correlation functions, Journal of Physics A 36, L205 (2003)

    证明自由费米子链上，一段区块的约化密度矩阵可以由两点关联矩阵求出。实验中作为参考的精确纠缠熵就是这样算出来的。

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