FR30-C · 扫过窗口，能量下降

DMRG 基态扫描

DMRG 怎样找到基态？又怎么确认找到了？ DMRG 让一个小窗口沿链来回扫描，每次把两个格点换成其余部分固定时能量最低的选择，能量一轮轮下降。是否收敛，要同时看能量方差、舍弃权重，有精确能量时再对照它；方差很小的态也可能是对称破缺态。

看双格点窗口沿自旋链来回扫描，每一步都把能量压低一点。拿能量和精确值比较，也看看为什么只凭很小的能量方差，还不能证明已经找到基态。

高出精确值的能量 $2.3\times10^{-10}$

能量方差 $1.9\times10^{-9}$

最大舍弃权重 $1.1\times10^{-10}$

已完成扫描 $6$

来回扫描，直到能量稳定

最大键维数

\chi_{\max}

16

横场

h

1

链长

L

32

拖动金色上限，改变最大键维数。

更多设置

扫描轮数

n

6

初态种子

s

3003

模型、单位与来源

$H_{\rm I}=-\sum_j\sigma^x_j\sigma^x_{j+1}-h\sum_j\sigma^z_j,\quad H_{\rm XXX}=\sum_j\mathbf S_j\cdot\mathbf S_{j+1}$

开放链，耦合取一，熵用自然对数。前三轮扫描中键维数上限逐步提高；每次局域更新做四步 Lanczos，保留相对截断阈值万亿分之一以上的奇异值。

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模型假设

双格点 DMRG 在矩阵乘积算符下优化实数矩阵乘积态，每次局域更新做几步 Lanczos，前几轮扫描逐步提高键维数上限。Ising 链的能量与自由费米子精确基态能比较；8 到 16 个格点的 Heisenberg 链与预先存储的 SciPy 精确对角化结果比较。方差用哈密顿量平方的矩阵乘积算符计算。虚线熵曲线是共形场论的弦长公式，中心荷固定，只拟合常数。

每轮扫描的能量误差与方差

每次局域更新后的能量

沿链的纠缠熵

数值诊断与记录

\text{sweep }0

能量、方差与宇称都由每轮扫描结束时的矩阵乘积态计算。记录保存每一次局域更新和每一轮扫描。

继续学习：量子多体物理中的张量网络

先抓重点

核心问题: DMRG 怎样找到基态？又怎么确认找到了？
一句话直觉: 每次局域更新只会让变分能量下降或不变。结果是不是基态，需要另外的证据：能量方差、舍弃权重、对称性检查，能做到时再和精确能量比较。

核心数学模型

局域本征值问题

H_{\rm eff}^{[j,j+1]}\,\Theta=E\,\Theta,\qquad \Theta\approx U\,\mathrm{diag}(s)\,V^{\dagger}

链的其余部分固定后，双格点块的能量就是一个小本征值问题。几步 Lanczos 就能解出，再用截断奇异值分解把它拆回两个张量。

用方差检验收敛

\sigma_E^2=\langle H^2\rangle-\langle H\rangle^2\ge0

精确本征态的方差为零。方差小说明这个态接近某个本征态，或接近几个近简并本征态的组合，但它说不出是哪一个。

临界链的纠缠

S(\ell)=\frac{c}{6}\ln\!\Big[\frac{L}{\pi}\sin\frac{\pi\ell}{L}\Big]+s_0

对开放边界的临界链，共形场论给出这条曲线：Ising 链中心荷为二分之一，Heisenberg 链为一。这里只拟合常数；短链上还会叠加振荡。

常见难点

方差小不是证明

容易误解方差一旦很小，DMRG 就找到了基态。

正确理解近简并的态，比如铁磁体的两个有序态，混合后方差依然很小。要检查对称性、换几个初态比较，能有精确能量时就拿来对照。

动手实验

01
跟着一轮扫描
让“临界 Ising 链”运行，跟着金色双格点窗口，看它身后留下的纠缠柱。
你会看到： 前几轮扫描中，能量误差下降好几个数量级；纠缠柱逐渐排成中间最高的拱形。
02
缩小键维数
选“键维数太小”，或把金色上限往下拖。
你会看到： 能量停在明显高于精确值的地方，方差和舍弃权重也都很大，三个信号一致。
03
收敛了，答案却不对
选“有序相：方差小，态不对”，比较能量方差和能量误差。
你会看到： 方差非常小，能量却仍高于精确基态能。DMRG 停在了对称破缺态上，诊断中的宇称检查能揭示这一点。

DMRG 基态扫描