FR30-B · 纠缠在增长，时间窗在关闭

TEBD 淬火与可信时间窗

矩阵乘积态能跟住一次量子淬火多久？ 只能跟到纠缠超出键维数能承载的那一刻。淬火后纠缠大致随时间线性增长，而键维数能承载的纠缠只是它的对数。所以键维数翻倍，可信时间只延长一段固定的长度，而不是翻倍。

自旋链从简单的直积态出发，突然打开横场，用 TEBD 追踪它的演化。精确的自由费米子解标出截断模拟不再可信的时刻。

可信直到 $t^{\ast}=2.7$

当前最大局域误差 $0$

中心纠缠熵 $0$

累计舍弃权重 $0$

追踪淬火，直到时间窗关闭

键维数

\chi

16

横场

h

1

时间步长

\Delta t

0.05

拖动金色上限改变键维数；点击时空图回看某一时刻。

更多设置

链长

L

16

模型、单位与来源

$H=-\sum_{j=1}^{L-1}\sigma^x_j\sigma^x_{j+1}-h\sum_{j=1}^{L}\sigma^z_j$

开放链，耦合取一，时间以耦合的倒数为单位，熵用自然对数。时空图的颜色是矩阵乘积态给出的磁化；虚线斜线表示最快的准粒子速度，即横场与耦合中较小者的两倍。

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模型假设

开放横场 Ising 链的耦合取一，初态所有自旋沿场方向朝上。复数矩阵乘积态按二阶 Trotter 步演化，键维数有固定上限。精确参考把自旋链映射为自由 Majorana 费米子，演化它们的协方差矩阵，因此既没有 Trotter 误差，也没有截断误差。任一格点的局域磁化与精确值相差超过千分之一时，可信时间窗结束。时间以耦合的倒数为单位。

中心纠缠熵随时间的变化

局域误差与舍弃权重

可信时间随键维数的变化

数值诊断与记录

t=0

精确参考由自由费米子协方差演化求得，与 Trotter 门无关。记录保存两种计算的每一帧，以及可信时间扫描。

继续学习：量子多体物理中的张量网络

先抓重点

核心问题: 矩阵乘积态能跟住一次量子淬火多久？
一句话直觉: 全局淬火后，切口两侧的纠缠大致随时间线性增长，而键维数最多只能承载它的对数那么多纠缠。所以可信时间只随键维数的对数增长。

核心数学模型

淬火后的哈密顿量

H=-J\sum_{j=1}^{L-1}\sigma^x_j\sigma^x_{j+1}-h\sum_{j=1}^{L}\sigma^z_j,\qquad |\psi(0)\rangle=|{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow}\rangle

耦合取一。所有自旋起初都沿场方向朝上；耦合一旦起作用，这个态就不是本征态。

二阶 Trotter 步

e^{-iH\Delta t}=\prod_{b=1}^{L-1}e^{-ih_b\Delta t/2}\prod_{b=L-1}^{1}e^{-ih_b\Delta t/2}+O(\Delta t^3)

每个键项分到一份横场。先正向、再反向各扫一遍半步门，每一步的误差是三阶，所以固定时刻的误差随时间步长的平方变化。

一条键最多能承载多少纠缠

S_c(t)=-\sum_\alpha\lambda^{(c)}_\alpha(t)\ln\lambda^{(c)}_\alpha(t)\le\ln\chi

至多只有这么多个 Schmidt 权重时，它们全部相等时熵最大。一旦精确的熵接近这条上限，截断就必然丢掉实在的权重。

常见难点

舍弃权重小，不等于结果可信

容易误解只要每次截断几乎没丢什么，模拟就一定还准确。

正确理解舍弃权重会在成千上万个门上累积，Trotter 误差又和截断无关。要和精确结果比较，或者加大键维数、缩小时间步再算一遍。

动手实验

01
看时间窗怎样关闭
让“临界淬火”运行，看时空图从上往下填满。虚线标出局域误差第一次超过千分之一的时刻。
你会看到： 中心纠缠熵先贴着精确曲线走，随后被金色上限压平，误差也从那时起迅速增长。
02
让键维数不够用
选“通道太少”，或把键上方的金色上限往下拖。
你会看到： 时间窗关闭得早得多。可信时间与键维数的关系图中，键维数每翻一倍，可信时间增加的长度大致相同。
03
把截断与时间步分开
选“时间步太粗”，比较舍弃权重和局域误差。
你会看到： 这时舍弃权重仍然很小，误差却已经出现。它来自 Trotter 步，而不是截断。

TEBD 淬火与可信时间窗