FR09-C · 一个量子态，五个位置

边界量子纠错

编码后的量子态丢掉多少，还能完整恢复？ 这个五比特码丢掉任意两个已知位置，仍能完整恢复输入态。留下的三个位置共同保住概率和相对相位；只剩两个位置时，它们的状态已不含输入信息。

点掉边界上的量子比特，比较恢复态和输入态。再转动输入相位，看看留下的信息能否保住量子叠加。

恢复保真度 $1.00$

留下的位置数 $3$

恢复态纯度 $1.00$

擦除条件残差 $0$

模型假设

五比特稳定子码把一个逻辑量子比特编码到五个物理量子比特。擦除指对已知位置求偏迹。恢复采用以逻辑最大混态为参考的 Petz 转置通道。画面表示一个有限维完美张量，没有空间度规或引力动力学。

有限维编码的精确计算

比较量子态的三个分量

金色表示输入态，青色表示恢复态。三个泡利期望值共同确定一个量子比特，包括它的相对相位。

恢复态密度矩阵与纠错条件

\rho_{\rm recovered}=\begin{pmatrix}0.704&0.343-0.301i\\0.343+0.301i&0.296\end{pmatrix}

$A_e^\dagger A_f=c_{ef}I$

残差衡量当前擦除通道偏离这条纠错条件的最大幅度。残差为零时，同一个恢复通道可以保住任意逻辑态，以及它和外部参考的纠缠。

先抓重点

核心问题: 编码后的量子态丢掉多少，还能完整恢复？
一句话直觉: 留下三个位置，可以共同恢复逻辑量子比特；任意两个位置单独拿出来，都不含它的信息。

核心数学模型

保持内积的编码

\begin{aligned}V|\psi\rangle&=\cos\frac{\vartheta}{2}|0_L\rangle\\&\quad+e^{i\varphi}\sin\frac{\vartheta}{2}|1_L\rangle\\V^\dagger V&=I\end{aligned}

两个逻辑码字是互相正交的五比特态。概率角决定两种结果的概率，相对相位决定叠加时的方向。

求偏迹，擦除一个位置

\begin{aligned}\mathcal N_E(\rho)&=\operatorname{Tr}_E(V\rho V^\dagger)\\&=\sum_e A_e\rho A_e^\dagger\end{aligned}

把被擦除位置的所有可能结果加起来，不挑选测量结果。恢复通道只收到剩余部分的密度矩阵和丢失位置。

检验整个逻辑子空间

\begin{aligned}A_e^\dagger A_f&=c_{ef}I\\\rho_{\rm out}&=\mathcal R_E(\mathcal N_E(|\psi\rangle\langle\psi|))\\F&=\langle\psi|\rho_{\rm out}|\psi\rangle\end{aligned}

第一条条件检验被擦除部分能否区分逻辑态。条件成立时，同一个恢复通道能保住任意输入及其与参考系统的纠缠。保真度则比较画面里所选的纯输入态和恢复态。

常见难点

信息由多个位置共同保存

容易误解每个位置都放着一份输入态的备份。

正确理解任意一个或两个位置的状态都与输入无关，逻辑信息藏在联合关联里。五个位置装不下两组互不相交的三位置区域，恢复区域因此无法各自产出独立副本。

已知位置的擦除不同于未知损伤

容易误解能补回两个擦除位置，就能纠正任意两个未知错误。

正确理解擦除把丢失位置告诉了解码器。这个距离为三的码能纠正两个已知擦除，或一个位置未知的任意单比特错误。

动手实验

01
先丢掉两个位置
先猜相对相位能否保住。选择“丢掉两个位置”，再拖动金色指针。
你会看到： 恢复态的三个分量都跟着输入走。留下的信息既能恢复基态，也能恢复叠加态。
02
再丢掉一个位置
选择“留下的太少”，再改变两个输入滑块。
你会看到： 输入条形仍会变化，恢复态的三个分量却全为零。只剩两个位置时，恢复结果是逻辑最大混态，保真度为二分之一。
03
换一对擦除位置
重置。点回已擦除的位置，再擦除另一对，保存模拟记录。
你会看到： 换成任何一对，都能完整恢复。保存文件包含这次输入对应的复振幅、剩余密度矩阵和恢复结果。

边界量子纠错

比较量子态的三个分量