只看一半，纯态为什么会显得随机

两枚各自随机、合起来确定的量子比特

设两个人各拿一个量子比特，基态叫 $\lvert0\rangle$ 和 $\lvert1\rangle$。联合态取 $\lvert\Psi\rangle=(\lvert00\rangle+\lvert11\rangle)/\sqrt2$。两人沿这个基测量，每人都各有一半概率得到零或一；一旦比较，结果总相同。联合态的相位还会影响换一个测量方向后的关联。

写出联合态全部振幅，就确定了纯态。只看其中一人的实验，要把另一人的所有可能结果加起来。这个运算叫偏迹；它保留本地一切测量所需的信息，联合关联则需要回到双体态中读取。

用熵量出不知道多少

若密度矩阵的本征值为 $p_i$，von Neumann 熵就是这些概率的 $-\sum_i p_i\log p_i$。本征值相当于在适当基里互斥结果的概率。我们用自然对数，单位称 nat；换成以二为底的对数就用 bit。

对这对量子比特，两个本征值都是 $1/2$，所以局域熵为 $\log2$ nat，也就是一个 bit。整体纯态只有一个非零本征值，等于一，整体熵为零。这说明局域熵不是把两个本地熵直接相加就能得到的整体无知。

完整例题：把联合态改成 $\sqrt{3/4}\lvert00\rangle+\sqrt{1/4}\lvert11\rangle$。偏迹后概率为四分之三和四分之一，熵约为 $0.562$ nat。保持联合态归一化，逐渐把第二项的概率降到零，局域态趋于确定，纠缠熵连续降到零。

来源：Xi Dong · Shinsei Ryu and Tadashi Takayanagi

相同的本地矩阵可以来自不同的整体

现在让一个经典随机数决定，两人同时收到 $\lvert00\rangle$ 或同时收到 $\lvert11\rangle$，各占一半。这个混合态给每人同样的局域矩阵，但它没有两项之间的相干性。只沿刚才那一组基测量，分不出它和纠缠纯态；换基比较关联，就能分开。

混合态的整体熵为 $\log2$，纠缠纯态的整体熵却为零。对于一般混合整体，单看 $S_A$ 会同时数到经典不确定性和量子纠缠，不能直接当纠缠大小。后面讨论热态时，这个区别尤其重要。

热态还需要一个 Hamiltonian

温度决定系统怎样按能量分配概率。要叫一个态为热态，必须先指定 Hamiltonian，也就是能量算符，还要给定平衡条件。一个两能级系统在极高温时，两种能量近乎等概率，看起来也会像前面的局域矩阵。相同的矩阵形式并没有说明随机性最初怎样准备出来。

取能级为零与 $E$，并记 $\beta=1/(k_{\rm B}T)$。两种概率的比为 $e^{-\beta E}$。例如 $\beta E=\log3$ 时，低能级概率四分之三，高能级四分之一，恰好与上面的约化态相同。

在全息对应中，边界热态有时对应带黑洞的体几何，边界真空的区间约化态也有自己的熵。两种计算都涉及熵，几何和物理条件却不同。下一章从边界算符的关联开始建立对应，再把这个熵带回几何。

来源：João Penedones