两个区间怎样共用一片内部

先问四个端点怎样连接

沿边界从左到右画两个区间，每个宽 $a$ ，中间空隙为 $d>0$ 。端点依次记为 $u_1,v_1,u_2,v_2$ 。仍用深度 $z$ 和曲率半径 $L$ ；本节先取靠近边界的连续极限， $a,d$ 都远大于径向截断 $\epsilon$ 。

第一种配对很直观：左区间两端相连，右区间两端相连。两条弧各自盖住一片内部。第二种配对把最外侧两个端点连起来，再把空隙两端连起来。外弧下方去掉内弧下方，剩下的区域也恰好以原来的两个区间为边界的一部分。

这个“区间加上曲线，能围出一片体内区域”的要求叫同调条件。它告诉我们应该在哪些候选里比较长度。把四个端点任意两两相连，会混进不合条件的图形；相交的长弧也不能成为这里的全局最小者。比较的是两组曲线的总长度，阴影面积没有参与最小化。

来源：Matthew Headrick

两组长度在什么位置打平

一条宽为 $w$ 的区间在连续极限给出 $2L\log(w/\epsilon)$ 。分离配对用了两次宽度 $a$ ；连通配对用了外侧跨度 $2a+d$ 和空隙宽度 $d$ 。把这四条长度代入，就得到两个候选总长。

两组都有四个靠近边界的端点，带着相同的截断发散。作差时这部分消掉，只剩宽度和间隔之比。间隔很小时，内弧很短，连通配对占优；间隔逐渐变大，分离配对开始占优。

\begin{aligned}\mathcal L_{\rm dis}&=4L\log\frac a\epsilon\\\mathcal L_{\rm con}&=2L\log\frac{2a+d}{\epsilon}+2L\log\frac d\epsilon\end{aligned}

这里写的是两组总长在小截断下的主导表达式。相同的端点数保证对数发散相同。

\mathcal L_{\rm con}-\mathcal L_{\rm dis}=2L\log\frac{d(2a+d)}{a^2}

连通配对较短，等价于对数里的无量纲比小于一。

\frac{d_*}{a}=\sqrt2-1,\qquad \eta=\frac{a^2}{(a+d)^2},\qquad \eta_*=\frac12

令两个总长相等，得到一个二次方程，取正根。右边的交比把四个端点的位置组合成无量纲数。

来源：Matthew Headrick

从长度差读出互信息

互信息定义为 $I(A:B)=S_A+S_B-S_{A\cup B}$ 。它量的是把两部分合起来看，比各看各的多知道多少，既会包含量子纠缠，也会包含经典关联。在经典 Einstein 引力主阶近似里，用最短总长除以 $4G_N$ 求熵；AdS3 的中心荷满足 $c=3L/(2G_N)$ ，量纲为一。我们统一用自然对数，熵以 nat 计。

分离配对胜出时，联合熵的主阶就是两个单区间熵之和，互信息的这一阶为零。连通配对胜出时，长度差留下正的主阶互信息。取两条平滑函数中较小的一条，数值在交点连续，斜率却会换掉；这正是图中的尖拐点从何而来。

这里的主阶随 $c$ 增长。把这一阶算成零，仍可留下 $c^0$ 阶的关联。若完整互信息精确为零，联合约化态才会分解成乘积态。在有限中心荷的理论里，量子修正还会改变经典极限的尖锐切换。

\frac{I_{\rm RT}(A:B)}{c}=\frac13\max\!\left(0,\log\frac{a^2}{d(2a+d)}\right)

这是全息真空的连续极限主阶结果。它来自上面的配对比较，而不是一般二维量子理论都满足的双区间公式。

来源：Matthew Headrick

把一组数从头算到底

取 $a=L$ 、 $d=0.3L$ ，参考截断 $\epsilon=0.02L$ 。先用连续极限公式：分离总长约为 $15.6481L$ ，连通总长约为 $14.9060L$ 。连通配对短了约 $0.7421L$ 。

除以 $4G_N$ 再除以 $c$ ，就等于把长度差除以 $6L$ ，得到 $I_{\rm RT}/c\simeq0.12369$ 。也可直接把 $d(2a+d)/a^2=0.69$ 代入对数公式，两条路径相同。

现在保持区间宽度不变，把间隔改成 $0.6L$ 。这个比值变为 $1.56$ ，连通配对反而更长。最短者换成分离配对，主阶互信息回到零。区间本身没有消失，换掉的是描述联合区间的最短曲线。

有限截断会把交点移开一点

上一章把端点固定在共同的 $z=\epsilon$ 面上，并把它们在这个面上的水平间距记为宽度。这个约定下的精确长度是 $f_\epsilon(w)=2L\operatorname{arsinh}(w/(2\epsilon))$ 。将两个候选分别写成 $2f_\epsilon(a)$ 与 $f_\epsilon(2a+d)+f_\epsilon(d)$ ，比较的才是同一组有限截断端点。

例如 $a=L$ 、 $\epsilon=0.02L$ 时，数值求交得到 $d_*/L\simeq0.41365$ ，已很接近连续极限的 $0.41421$ 。把截断增大到 $0.2L$ ，交点移到约 $0.36458$ 。这些移动来自所定义的有限截断几何。

要把后一种计算解释成某个有限截断量子场论的精确熵，还得指定那个理论及其字典。这里把它保留为几何比较，另画连续极限的 RT 互信息。两条计算路径越接近边界越吻合，这也是可检查的极限。

来源：Shinsei Ryu and Tadashi Takayanagi · Matthew Headrick

空间中的阴影怎样变成一个楔

一张等时图只能画出空间区域。选中的曲线与边界区间围成阴影后，还要让这个区域沿时间展开。时空里有些点的物理，由这片空间区域上的初始条件就足以决定：穿过这些点的每条不可延伸因果曲线都必须经过这片区域。这些点组成它的依赖域。边界的时间演化也有相应的依赖域。

把体内阴影记作 $r_A$ ，它的体内依赖域 $D_{\rm bulk}(r_A)$ 就是经典情形下的纠缠楔。另一个问题从信号出发：哪些体内点既能收到边界依赖域 $D_{\partial}(A)$ 发来的信号，又能把信号传回那里？它们组成因果楔。前者用极值曲线和同调条件定义，后者用光锥定义。

在空 AdS 的单个真空区间这个对称例子里，两种楔相同。边界依赖域是一枚菱形，其两端在 $t=\pm a/2$ ；以光速为一，光从两端进入体内，等时交线恰好是半径 $a/2$ 的测地线。要看到两种楔分开，需要更一般的区域或状态。近邻双区间的联合纠缠楔可以连通，分别做信号往返得到的因果楔仍分开。

\mathcal E_A=D_{\rm bulk}(r_A),\qquad \mathcal C_A=J^+_{\rm bulk}\!\left(D_{\partial}(A)\right)\cap J^-_{\rm bulk}\!\left(D_{\partial}(A)\right)

依赖域描述初始条件能决定哪些事件；因果未来与因果过去描述信号可达关系。图中的空间阴影只是纠缠楔的一个切片。

来源：Xi Dong

区域变大后，为什么会谈到重建

假设某片体区域的可观测信息，完整保存在一部分边界里。重建要求找到只作用于这部分边界的算符，让它在允许的态上重复体算符的作用。先指定这些态和算符，再比较测量结果，几何区域就给出了一个信息问题。

Dong、Harlow 与 Wall 在 $1601.05416v2$ 中，把这个问题写成编码子空间上的量子信息命题。对应的态须留在可控的半经典范围，重建依赖相对熵和广义熵的条件；论文还区分已建立的展开阶次与更高阶假设。下一章用一个有限维量子码，把“丢掉一部分，剩下的仍能重复原操作”真正算出来。

来源：Xi Dong

把推理带进实验

先预测配对，再比较两个计算

选择“连成一片的内部”。记下区间宽度，把它乘以根号二减一，预测连续极限的切换间隔。
缓慢增大“两个区间的间隔”，看所选曲线怎样换位。比较画面中有限截断几何的切换与右图的连续极限主阶互信息。
展开截断设置，分别取较小和较大的径向截断。解释为什么画面的交点会移动、连续极限参考却不跟着移动。保存计算，用导出的两组总长检查哪组较短。

练习与解释性答案

若区间宽度和间隔同时扩大三倍，连续极限的 $I_{\rm RT}/c$ 怎样变？有限截断几何是否也保持不变？
展开解释
主阶互信息不变，因为对数里只含宽度与间隔的比。有限截断几何要连截断深度也扩大三倍，长度才完全不变；只移动水平端点会改变它们与截断的比例。
从 $d(2a+d)=a^2$ 推导正的切换间隔。为什么不取另一个根？
展开解释
令 $q=d/a$ ，得到 $q^2+2q-1=0$ ，两根为 $-1\pm\sqrt2$ 。间隔为正，取 $q=\sqrt2-1$ ；负根与所设的两个不相交区间不符。
两片空间阴影分开了，能否据此断言边界两区间的全部关联消失？还缺哪一步？
展开解释
不能。这里的阴影来自经典最短曲线，只控制熵的主阶。完整互信息需要加上量子修正等贡献。要推出联合态精确分解，必须证明完整互信息为零。
图中的阴影是一片二维空间区域。要把它称为时空中的纠缠楔，还要做什么？
展开解释
先确认它由区间和相应的极值曲线围成，再取这片区域的体内依赖域。一般还需完整时空及适用的极值曲面方案。空间图本身没有给出时间方向的边界。

来源与复算范围

课程自行推导例题、绘制示意图，数值参考复算指定的解析几何和有限五比特编码。下面按实际核读位置列出计算范围与理论阅读内容。

Shinsei Ryu and Tadashi Takayanagi, Holographic Derivation of Entanglement Entropy from AdS/CFT, hep-th/0603001v2; PRL 96, 181602 (2006)
式 (5) 的静态面积公式；式 (6)—(10) 和图 1 的真空 AdS3 区间几何与圆周结果。这里独立积分 Poincaré 测地线并比较截断极限；等高有限截断端点另作几何诊断。多区间取极小值采用 Headrick 的结果，不采用这篇早期论文的式 (12)。
Matthew Headrick, Entanglement Rényi entropies in holographic theories, arXiv:1006.0047v3; PRD 82, 126010 (2010)
第 3.1.3、4.2 节，尤其图 1：真空双区间的两种同调配对、切换和主阶互信息。这里复算等长区间随间距改变的特例，不复现数值 replica 鞍点，也不复制原图。
Xi Dong, Daniel Harlow and Aron C. Wall, Bulk Reconstruction in the Entanglement Wedge in AdS/CFT, arXiv:1601.05416v2; PRL 117, 021601 (2016)
第 I—II 节与图 1 定义因果楔、纠缠楔及微扰编码子空间；第 III—IV 节给出重建所需的相对熵假设。课程解释这些条件，有限码的检验属于另一个精确模型。