从体内的场读出边界关联

换一张坐标图，先说明它覆盖哪里

上一章的全局图把边界画成圆周，适合比较不同方向的光何时抵达。求一个靠近边界的场怎样变化，另一张图更方便：边界铺成平面，径向距离由离开这张平面的高度表示。这就是 Poincaré 坐标。

先在 Lorentz 时空写度规。边界有 $d$ 个时空方向，体内多一个径向坐标 $z>0$ ； $x^\mu$ 和 $z$ 取长度单位，曲率半径为 $L$ ，边界趋于 $z=0$ 。 $\eta_{\mu\nu}$ 是一负其余为正的平直时空度规。

Lorentz 情形下，这张图只覆盖全局 AdS 的一部分。图中径向高度无限大处形成 Poincaré 视界；不能把它当成全局时空的尽头。换坐标会改变图形、时钟的标号和边界采用的共形代表，光能连接哪两个事件仍由原来的度规决定。

ds^2=\frac{L^2}{z^2}\left(dz^2+\eta_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu\right)

全局边界可取圆柱，Poincaré 图采用平直边界。比较两种图上的关联函数，还要按算符维数换算共形因子。

来源：João Penedones

质量怎样变成衰减指数

在这张固定背景上放一个自由标量场 $\Phi$ 。“标量”表示它在坐标变换下没有向量方向。取自然单位 $c=\hbar=1$ ，质量 $m$ 具有长度倒数单位；场满足 Klein–Gordon 方程。为求近边界幂次，把边界坐标转到 Euclid 情形，时间项也变成正号。

将度规代入曲空间的 Laplace 算符，径向部分带有下面两项。固定边界波数时，含边界导数的一项多乘 $z^2$ ，靠近边界比径向主项小。试一个幂函数 $\Phi\sim z^\alpha$ ，每次求导都把指数降一，再由前面的径向因子补回。所有主项于是具有同一个幂次。

\begin{aligned}(\nabla^2-m^2)\Phi&=0\\z^2\partial_z^2\Phi-(d-1)z\partial_z\Phi+z^2\partial_x^2\Phi-m^2L^2\Phi&=0\end{aligned}

第二行采用 Euclid 边界；边界导数的和作用于所有边界坐标。这里求的是固定波数、靠近边界的主阶行为。

\begin{aligned}\alpha(\alpha-d)&=m^2L^2\\\Delta&=\frac d2+\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2L^2}\\\alpha&=d-\Delta\quad\text{or}\quad\Delta\end{aligned}

本章采用标准量子化，选加号根作为边界算符的标度维数。假定质量高于稳定性下界；临界简并根和其他允许边界条件需要另行处理。

来源：João Penedones

一个系数是源，另一个系数带着响应

二阶方程需要边界条件。标准量子化把较慢分支的系数 $J(x)$ 规定为外加源：它告诉我们怎样从边界驱动体内场。另一分支的系数 $A(x)$ 带有状态或响应的信息。再指定内部正则性、量子态和 Lorentz 情形的时间条件，才得到一个确定的问题。

只写两项时，近边界结构如下。省略号包括由源的边界导数决定的局域项；某些整数指数差还会带对数。完成重整化后， $A$ 与 $\langle\mathcal O\rangle_J$ 成正比，并可能加上源的局域项。比例常数依赖场和算符的归一化，不能只凭幂次确定。

这里的边界算符是一条量子测量规则。它的两点关联描述在指定态下，两处测量怎样共同涨落。固定源以后，对生成泛函求一次变化得到平均响应，再求一次得到相应的两点函数。需要选定 Euclid、时序或推迟响应的定义，这些对象不能混用。

在零源且标准归一化下，也可以把趋近边界的体场乘 $z^{-\Delta}$ 后取极限，定义边界算符。Penedones 第 3.2 节的式 (77)—(78) 采用这种极限定义，第 3.2.2 节式 (93)—(99) 再用外加源建立生成泛函。两条路线连接的是同一组关联函数。

\Phi(z,x)=z^{d-\Delta}\bigl[J(x)+\cdots\bigr]+z^\Delta\bigl[A(x)+\cdots\bigr]

这是标准量子化下的近边界结构。源分支和响应分支各自还含次阶项；有源时，须先分离源引起的项，再定义重整化边界响应。

来源：João Penedones · Xi Dong

用一个无质量场算出可比较的数

完整例题：体内取 AdS3，也就是 $d=2$ ，标量质量为零。指数方程成为 $\alpha(\alpha-2)=0$ 。两个径向幂次是零与二；按本章的标准量子化，边界算符维数为 $\Delta=2$ 。选定的边界条件决定怎样使用这两个根。

先关闭外加源。场的主项随 $z^2$ 衰减，因此将径向高度减半，同一个近边界响应分支的主项就缩小到四分之一。乘回 $z^{-2}$ 才留下有限的边界量。若开启随位置变化的源，这个无质量例子通常还需要 $z^2\log(z/L)$ 局域项；零源计算避开了这项，不能把它删成普遍结论。

再取平直 Euclid 边界上的真空，比较两处不重合的标量主算符。平移、旋转和尺度对称性让两点函数只能按间距的确定幂次变化。把间距从 $r$ 加倍到 $2r$ ，关联变成十六分之一。算符归一化常数在这个比值中消掉。

\begin{aligned}\langle\mathcal O(x)\mathcal O(y)\rangle&=\frac{C_{\mathcal O}}{|x-y|^{2\Delta}},\qquad x\ne y\\\frac{G(2r)}{G(r)}&=2^{-2\Delta}=\frac1{16}\quad(\Delta=2)\end{aligned}

这是 Euclid 平直边界真空中分离点的两点函数。圆柱、热态和实时间排序各需相应变换或额外说明；重合点还涉及接触项。

来源：João Penedones

把度规也量子化，需要更多条件

以上推导已经能从固定 AdS 背景产生有共形性质的边界关联。要谈完整的引力对应，还要让度规本身参与动力学。边界的能量动量张量，正对应这类度规变化；仅有一个自由标量场还没有提供全部内容。

半经典引力要求曲率半径远大于量子引力的短尺度。边界常用“大自由度”或大 $N$ 展开来描述这一点：适当归一化的少点算符关联近似因子化，连通修正受到抑制。能量动量张量的两点强度 $C_T$ 则随 $L^{d-1}/G_N$ 增大。

要进一步用少数场加 Einstein 引力近似，低能谱还得足够稀疏，额外的高自旋单粒子激发需要有大能隙。否则体内会有许多同样轻的场，简单的低能引力方程不够用。大自由度、强相互作用与稀疏谱分别承担不同作用；具体理论需要逐项说明它满足哪些条件。

来源：João Penedones

关联函数与传消息分别怎么问

两个相隔很远的量子测量可以相关。要问能否传消息，需要改变一处的驱动，再看另一处的结果会不会随之改变；在线性响应里，这由推迟关联函数和算符对易子决定。局域边界理论的类空间对易子为零，即使同一态的两点关联仍非零。

下一章的静态极值曲线连接同一时刻的边界端点，它计算空间切片上的长度。它既没有发射时刻，也没有给出推迟响应。先以零测地线判断因果可达，再以极值曲线研究纠缠，两个问题各用合适的计算。

从体内的场读出边界关联

换一张坐标图，先说明它覆盖哪里

质量怎样变成衰减指数

一个系数是源，另一个系数带着响应

用一个无质量场算出可比较的数

把度规也量子化，需要更多条件

关联函数与传消息分别怎么问

把推理带进实验

先画出一条真正的信号路径

练习与解释性答案

来源与复算范围