FR09-A · 光怎样走到边界

全局 AdS 中的光信号

空间边界无限远，光为什么能在有限全局时间抵达？ 全局时间和空间固有距离是不同的量。AdS 的度规让光线在有限全局时间拥有边界端点，同时到边界的空间距离和光线仿射参数都发散。

在紧致坐标图上拖动光源，跟随不同方向的光线，比较它们抵达边界的时刻。

所选光线抵达时间 $\Delta\tau=1.16$

最早抵达边界 $\Delta\tau_{\min}=1.05$

沿径向到截断面距离 $D/L=3.13$

边界抵达方位 $\varphi_{\partial}=0.179\,\mathrm{rad}$

模型假设

光线来自三维空 AdS 固定背景的零测地线。圆盘把无限空间距离压进有限半径，时间采用以 AdS 光程为单位的全局坐标时间。边界是无限仿射参数处的共形端点；这里不计算引力反作用、衍射和边界量子场。

固定背景计算

每个发射方向都有抵达时刻

\begin{aligned}\Delta\tau_{\rm outward}&=\frac{\pi}{2}-\rho_s\\\Delta\tau_{\rm inward}&=\frac{\pi}{2}+\rho_s\end{aligned}

这里采用全局时钟。圆盘保留因果路径，靠近边界的固有距离被坐标图压缩。

先抓重点

\begin{aligned}ds^2&=\frac{L^2}{\cos^2\rho}\bigl(-d\tau^2+d\rho^2\\&\qquad+\sin^2\rho\,d\varphi^2\bigr)\\0&\le\rho<\pi/2,\qquad \tau=ct/L\end{aligned}

曲率半径规定长度尺度，方位角采用弧度；全局时间沿万有覆盖无限展开。去掉公共正因子不改变零曲线，剩下的光学空间是一张半球面。

\begin{aligned}ds^2=0,\ d\varphi=0&\ \Longrightarrow\ |d\rho/d\tau|=1\\\Delta\tau_{\rm near}&=\pi/2-\rho_s\\\Delta\tau_{\rm far}&=\pi/2+\rho_s\end{aligned}

径向向外的光先到近侧边界。向内的光穿过中心，随后抵达远侧。光源位于中心时，各个方向都经过半个圆周率单位的全局时间抵达。

\begin{aligned}\frac{D}{L}&=\int_{\rho_s}^{\rho_c}\frac{d\rho}{\cos\rho}\\&=\operatorname{arsinh}(\tan\rho_c)\\&\quad-\operatorname{arsinh}(\tan\rho_s)\end{aligned}

这段径向距离随截断面逼近边界而发散，量的是同一时刻的空间切片。光线的时空间隔为零，边界端点处的仿射参数则无限大。

容易误解边界无限远，有限时间抵达一定说明超光速。

正确理解光线在每一点都满足局域零间隔条件。全局坐标时间不能用同一把空间尺除以一只局域时钟来解释。边界的仿射参数发散，也让它有别于有限距离上的普通事件。

01
先把光源放在中心
选择“从中心同时抵达”，跟随同一批发出的光信号。
你会看到： 各个方向的信号同时抵达圆周；旋转对称性让发射方向没有差别。
02
比较近侧与远侧
比较“先到近侧边界”与“穿过中心去远侧”，再拖动金色光源。
你会看到： 向外移动光源，近侧光程变短，远侧变长。发射角与抵达时间的关系也随光源位置连续变化。
03
移动有限截断面
展开“距离与模型假设”，增大“径向截断面”。比较距离与抵达时间。
你会看到： 截断面靠近边界，空间距离迅速增大。光源和方向没有改变，共形边界的抵达时间保持不变。