从一条测地线算出区间纠缠熵

把最短路写成可求极值的量

在 Poincaré 坐标中取 $t=0$，边界坐标为 $x$，向内部增加的坐标为 $z>0$。$x,z,L$ 都用同一长度单位。两端点放在 $(-\ell/2,\epsilon)$ 和 $(\ell/2,\epsilon)$，其中 $\ell$ 专指截断面上两锚点的水平间距。我们固定同一个 $\epsilon>0$，让曲线在上半平面中寻找最短路。

把曲线写成 $z(x)$，每一段的实际长度是 $L\sqrt{dx^2+dz^2}/z$。因子 $1/z$ 意味着贴近边界行走代价很高；曲线可以向内部下探，减少沿水平方向移动的代价。两种代价竞争决定它有多深。

来源：João Penedones · Shinsei Ryu and Tadashi Takayanagi

平移对称性给出圆

被积函数 $F(z,z^{\prime})=\sqrt{1+(z^{\prime})^2}/z$ 不显含 $x$，因此 Euler–Lagrange 方程有一阶积分 $F-z^{\prime}\,\partial F/\partial z^{\prime}=\mathrm{constant}$。在最深处，斜率为零；把该处深度记为 $R$，常数就是 $1/R$。

整理后得到 $z\sqrt{1+(z^{\prime})^2}=R$。分离变量，积分并利用左右对称，得 $x^2+z^2=R^2$。端点必须恰好落在指定截断面，因此 $R=\sqrt{(\ell/2)^2+\epsilon^2}$。若直接用半径 $\ell/2$ 的边界锚定圆，再在截断面裁掉两端，实际截断端点就会向内移动；那是另一种约定。

把圆弧长度积出来

令 $x=R\cos\theta$、$z=R\sin\theta$。欧几里得小段为 $R\,d\theta$，除以深度后变成 $L\,d\theta/\sin\theta$。两端对应 $\theta_0$ 与 $\pi-\theta_0$，且 $\sin\theta_0=\epsilon/R$。积分的原函数为 $\log\tan(\theta/2)$。

代入两端，得到下面的精确式。$\operatorname{arsinh}u=\log(u+\sqrt{1+u^2})$ 是反双曲正弦。当 $\epsilon/\ell$ 很小时，根号内可以按小量展开，长度的主项成为对数。误差从截断比值的平方开始。

完整例题：取 $L=1$、$\ell=2$、$\epsilon=0.1$。精确长度为 $2\operatorname{arsinh}10\simeq5.99645$，主阶近似为 $2\log20\simeq5.99146$。二者相差约 $0.00498$。把截断减半，误差约缩成四分之一，但精确长度还会增加接近 $2\log2$。

先相减，再移走截断

比较宽度 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 的区间，让它们使用相同截断。对数里的 $-2L\log\epsilon$ 完全相同，差值有有限极限。有限截断下的精确差仍带有幂次修正，不能在任意截断时都写成纯对数。

例如把宽度从二增为四，长度差趋于 $2L\log2$。在 $\epsilon=0.1$ 时，精确差约 $1.38256L$，比极限 $1.38629L$ 稍小。独立数值积分应当重现前者，截断收敛扫描则检验它怎样走向后者。

何时可以把长度读作熵

Ryu–Takayanagi 关系把静态、同调于边界区间的极小曲线长度除以 $4G_3$。这里用 $\hbar=1$，三维 Newton 常数 $G_3$ 也带长度单位，结果为无量纲熵。对具有 Einstein 引力描述的 AdS3/CFT2，中心荷 $c=3L/(2G_3)$ 衡量边界理论的自由度规模。

于是单区间真空熵的主阶是 $(c/3)\log(\ell/\epsilon)$，宽度翻倍时主阶熵差为 $(c/3)\log2$。这个结论使用半经典体几何、大中心荷及受控的引力近似。面积法则中的体量子修正留到第七章；它们可能改变对“零互信息”的解释。

来源：Shinsei Ryu and Tadashi Takayanagi