L3 · 第 7 章

为什么淬火会甩开所有矩阵乘积态

哈密顿量一突变，链上到处冒出成对的准粒子，以有限速度朝相反方向飞开。每一对跨过某处切口，就给这处切口添一份纠缠，所以纠缠随时间线性增长。键维数为 chi 的一条键，最多只能承载 chi 的对数那么多纠缠。于是可信时间只随键维数的对数增长：每翻一倍，大约多出同样一段时间。

Sandbox Physics · 2026-10-29

整体淬火让链上布满粒子对

淬火实验里，每个自旋起初都沿横场方向朝上，这是横场无穷强时的基态。在零时刻把横场调到和耦合一样大，初态就多出了一份均匀摊在整条链上的能量。这叫整体淬火。

Calabrese 和 Cardy 用一个简单的图像解释接下来发生的事。链上每一点都发出成对的准粒子，同一对彼此纠缠，朝相反方向飞去。一段区间和其余部分之间的纠缠，数的是“一个在里面、一个在外面”的粒子对。这样的粒子对越来越多，纠缠随时间线性增长，直到最快的粒子对穿过整段区间，即区间长度的一半除以最大速度那一刻；此后饱和在一个与区间长度成正比的值上。

S_\ell(t)\approx\begin{cases}a\,t, & t<\ell/2v_{\max}\\ b\,\ell, & t>\ell/2v_{\max}\end{cases}

关联传播的速度上限

这个图像背后是一条普遍事实：在局域相互作用的链上，信息传播有一个有限的速度上限，光锥之外只剩指数衰减的尾巴。Bravyi、Hastings 和 Verstraete 用这条 Lieb–Robinson 界证明，关联和纠缠只能以有限速度分发，一个区块获得熵的速率与它的边界成正比。

链上一处切口的边界只有一个点，所以它的纠缠至多随时间线性增长。Schollwöck 在第 7.4 节指出了后果：许多淬火都能达到这种线性增长；而所需键维数随纠缠指数增长，于是它必须随时间指数增长。键维数固定的话，精度就会变差。

S(t)\le S(0)+c\,t\quad\Longrightarrow\quad \chi(t)\gtrsim e^{S(t)}\ \text{grows exponentially in }t

完整例题

检验精确的增长速率

Ising 链的增长速率可以精确求出。Fagotti 和 Calabrese 从自由费米子解推出了他们的式 (2)：每个动量模式以自己的群速度运动，贡献一份二元熵，大小取决于淬火把这个模式搅混了多少。对长链中的一处切口，速率是“速度乘熵”对所有模式的积分。用实验的哈密顿量和这个初态，横场等于耦合时，积分正好等于 2 除以圆周率，约 0.6366。

用 120 个自旋的自由费米子精确解来检验：中间切口的纠缠熵在时刻 2 到 8 之间的拟合斜率是 0.6360。另一套独立程序用 240 个自旋算出 0.6365。横场为 3 时，积分给出 0.1165，链上测得 0.1157。纠缠增长得这样规律，恰恰是矩阵乘积态跟不上的原因。

\frac{dS}{dt}=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{dk}{2\pi}\,|v_k|\,H(\cos\Delta_k),\qquad H(x)=-\tfrac{1+x}{2}\ln\tfrac{1+x}{2}-\tfrac{1-x}{2}\ln\tfrac{1-x}{2},\qquad \frac{dS}{dt}\Big|_{h=J}=\frac{2}{\pi}

为什么每翻一倍只多同样一段时间

一条键若只保留固定数目的 Schmidt 项，最多承载这个数的对数那么多纠缠。纠缠匀速增长时，键维数翻一倍，上限抬高 2 的对数，就换来一段固定的额外时间。实验在键维数 4、8、16、32 时测可信时间，即局域磁化强度与精确值之差第一次超过千分之一的时刻，得到 1.25、1.95、2.7、3.45：每翻一倍约多四分之三个时间单位。

粗略的“天花板”论证预言每翻一倍多 1.09，即 2 的对数除以增长速率。实测的步长更短，所以这个论证说对了对数形式，常数却不对。时间窗也和链长无关：键维数 16 时，12、16、20 个自旋的链都在 2.7 关上，因为起作用的是每处切口附近纠缠积累得有多快。

t^\ast(\chi)\approx t_0+\kappa\ln\chi:\quad \kappa_{\rm measured}\ln2\approx1.06\times0.693\approx0.73,\qquad \frac{\ln2}{2/\pi}\approx1.09

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

打开淬火实验，选临界淬火。先别动滑块，预测键维数为 8 时的可信时间。
拖动键柱上方的金色上限，或者移动滑块，依次取 4、8、16、32。
用中心纠缠熵的线性增长，解释为什么可信时间图上每翻一倍都多出差不多同样一段。

跟着淬火演化，直到模拟不再可信

这些实验模拟开放边界的自旋 1/2 链，能量以耦合常数为单位，时间以约化普朗克常数除以耦合常数为单位。每个实验在模型说明里写明模型和适用范围，并可导出读数背后的数据。

试着自己解释

1. 如果每翻一倍约多 0.75 的规律继续成立，键维数 64 能可信到什么时候？

展开答案与解释

约 3.45 加 0.75，大约 4.2。这是有待检验的预测，不是测量结果；实验的滑块最大只到 32。

2. 键维数不变，换一条更长的链，可信时间会更长吗？

展开答案与解释

不会。键维数 16 时，实验对 12、16、20 个自旋的链测得同样的可信时间 2.7。不论链有多长，每处切口附近纠缠积累的速度都一样。

3. 线性增长只限制 TEBD，还是限制所有把态存成矩阵乘积态的方法？

展开答案与解释

所有这类方法。不断增长的纠缠是精确态本身带的。第四章已经说明，在某处切口 Schmidt 项不够的态，离原态不可能比舍掉的尾部更近。更好的算法能逼近这个下限，却突破不了它。

可以放在旁边读的来源

U. Schollwöck, The density-matrix renormalization group in the age of matrix product states, Annals of Physics 326, 96 (2011)
这一领域的标准综述。第 3 节用面积律解释 DMRG 为什么在一维好用；第 4.1 节用一次次奇异值分解搭出矩阵乘积态，并在式 (58) 给出截断误差的上界；第 6 节把基态搜索写成变分扫描；第 7 节讲时间演化和它的极限。
P. Calabrese and J. Cardy, Evolution of entanglement entropy in one-dimensional systems, Journal of Statistical Mechanics P04010 (2005)
整体淬火之后，一段区块的纠缠先随时间线性增长，再饱和；作者用成对出发、以有限速度飞开的纠缠准粒子来解释。
M. Fagotti and P. Calabrese, Evolution of entanglement entropy following a quantum quench: analytic results for the XY chain in a transverse magnetic field, Physical Review A 78, 010306(R) (2008)
用自由费米子精确求解横场链的淬火，把增长速率写成对准粒子的积分，并证明每个格点的纠缠熵至多为 2 的自然对数。
S. Bravyi, M. B. Hastings and F. Verstraete, Lieb–Robinson bounds and the generation of correlations and topological quantum order, Physical Review Letters 97, 050401 (2006)
用 Lieb–Robinson 界证明：局域哈密顿量传播关联的速度有限，所以跨过一个切口的纠缠至多随时间线性增长。