比较规则为什么也会相互作用？

先后顺序变成了物理信息

把一支箭头先绕水平轴转，再绕竖直轴转，通常会和反过来转得到不同方向。内部空间里的矩阵也可能有这种次序差。只有一个复相位时，乘法可以交换，称为 Abelian；比较矩阵不能交换时，称为非 Abelian。

取两成分场，比较规则由 $SU(2)$ 矩阵给出。把势写作 $A_\mu=A_\mu^aT^a$ ，其中 $T^a=\sigma^a/2$ 是 Pauli 矩阵的一半。它们满足 $[T^1,T^2]=iT^3$ 。下标 $a$ 标记内部空间的方向。

D_\mu=\partial_\mu-igA_\mu,\qquad F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-ig[A_\mu,A_\nu]

取耦合与背景幅度为正。耦合常数在协变导数中，场强里的交换子来自两个矩阵比较次序的差。这里使用自然单位。

来源：David Tong

常量势也能有场强

电磁学中，空间常量的势没有旋度。非 Abelian 情形多了一条途径：两个方向的常量势若不对易，交换子仍留下场强。取 $A_x=aT^1$ 、 $A_y=aT^2$ ，所有普通导数都是零，却得到 $F_{xy}=ga^2T^3$ 。

把这个场强代入场能，便有势的四次项；与导数项交叉还会有三次项。它们描述规范场的自相互作用。这个代数例子展示了非线性的来源，没有假定这些常量势已满足某组无源边界条件。

-ig[aT^1,aT^2]=-ig\,a^2(iT^3)=ga^2T^3

普通导数为零，场强仍可非零。因此不能用电磁势的直觉直接判断非 Abelian 势是否纯规范。

同样使用常量势，比较矩阵的次序是否重要。
比较规则	常量势的次序差	本例的场强
单一复相位	$[A_x,A_y]=0$	$F_{xy}=0$
$SU(2)$	$[aT^1,aT^2]=ia^2T^3$	$F_{xy}=ga^2T^3$

一个有质量的矢量场怎样出现

先退回只有一个复标量的 Abelian 模型。势能 $V=\lambda(|\phi|^2-v^2/2)^2$ 在模长非零时最低。参数 $v$ 是具有质量量纲的背景尺度， $\lambda>0$ 无量纲。将场写成幅度起伏 $h$ 和相位 $\theta/v$ 。

把它代入协变动能，得到下面两个平方。第一个描述幅度变化；第二个把相位梯度和规范势组合起来。在局部取相位为零的规范后，第二项包含 $g^2v^2 A_\mu A^\mu/2$ ，正是质量项。于是矢量质量为 $m_A=gv$ 。

\phi=\frac{v+h}{\sqrt2}e^{i\theta/v},\qquad |D_\mu\phi|^2=\frac12(\partial_\mu h)^2+\frac12g^2(v+h)^2\left(A_\mu-\frac{\partial_\mu\theta}{gv}\right)^2

自然单位下，标量场、相位变量和背景尺度都有质量量纲；指数中的相位无量纲。

m_A=gv,\qquad m_h=\sqrt{2\lambda}\,v

标量质量来自势能在最低点附近的二次项；矢量质量来自协变动能。两者来源不同。

例题与自由度计数

设 $g=0.4$ 、 $v=3\,\mathrm{TeV}$ 、 $\lambda=0.5$ 。矢量质量为 $1.2\,\mathrm{TeV}$ ，幅度起伏的质量为 $3.0\,\mathrm{TeV}$ 。若只把耦合减半，矢量质量减半，标量质量不变。这说明“有背景幅度”还不足以独自决定全部质量。

质量出现前，无质量矢量有两个横向偏振，复标量有两个实自由度。局部展开后，有质量矢量有三个偏振，再加一个幅度起伏。总数前后都是四。原来写在相位中的自由度进入了矢量的纵向偏振。

规范冗余在这套描述中仍然成立。把机理简称为“规范对称性破缺”时，要记住局域冗余本身不是可观测的对称性破缺。有限系统、拓扑缺陷和不同规范的全局覆盖还需要更多工具；上述质量计算是在一个均匀背景附近的局部展开。

把推理带进实验

先确认 Abelian 环路的性质

预测交换两条链相位的乘法次序是否改变闭环。
在保持相位总和时重新分配链相位，记录闭环。
解释为什么这个 Abelian 结果不能直接推广到矩阵链变量。用两个不对易矩阵给出你自己的反例；此 Lab 演示的是 Abelian 比较。

练习与解释性答案

若取 $A_x=aT^1$ 、 $A_y=bT^1$ ，场强还是非零吗？

展开解释

在势为常量的本题中为零。两个势沿同一个内部方向，对易，交换子消失。非 Abelian 理论容许自相互作用，但每种特定背景未必都有非零交换子。

在例题中把 $v$ 加倍，质量怎样变化？

展开解释

保持两个无量纲耦合不变，矢量质量和标量质量都加倍。两者都与背景尺度成正比。

能否用一张显示标量平均值的图，直接证明局域规范冗余发生了可观测破缺？

展开解释

不能。标量分量的平均值依赖规范选择。应比较规范不变量、质量谱或相关函数；本章从展开后的质量极点与自由度计数理解机理。

来源与复算范围

推导、表格和图由本课程编写。下面列出实际核读的位置，并区分原文结果与教学扩展。数值示例属于模型参考或明确标出的合成观测，没有复制实验数据集或原文图。

David Tong, Gauge Theory (2018 lecture notes)

第 2.1—2.1.3 节（联络与 Wilson 环）、2.7.3 节（Higgs 相）、3.1.1—3.2.2 节（二维异常与 Ward 恒等式）、4.2.1 节（链端点）及 4.3.1—4.3.3 节（格点费米子）；印刷页码 26—37、105—108、122—139、207—210、220—228。

Aneesh V. Manohar, Introduction to Effective Field Theories, arXiv:1804.05863v1 (2018)

第 3.5 与第 4 节（积分掉自由度与幂次计数）、5.5—5.7 节（匹配）、5.10.1 节 PDF 式 (5.51)—(5.60)（QCD 运行与算符混合）、6.2—6.3 节（场重定义）。标量散射算例由本课程推导。已知对数的边界展开用于检查原文运行因子的截断，不计算有限硬匹配。