普通导数为什么认不出同一个物理态？

一次求导，多出了一项

在连续时空中，把带电复标量场写作 $\psi(x)$，电荷为 $q$。取自然单位 $\hbar=c=1$。现在选一个依赖位置的实函数 $\alpha(x)$，令场乘上 $e^{iq\alpha(x)}$。求导时，指数因子也要参与乘积求导。

多出的那一项只来自我们新选的相位刻度。若直接拿普通导数计算能量，便会把刻度的变化当成物理态的变化。需要一个能跟着局部刻度一起变换的比较规则。

用规范势补上比较规则

引入规范势 $A_\mu$，定义 $D_\mu=\partial_\mu-iqA_\mu$。为了抵消刚才多出的项，规范势应增加 $\partial_\mu\alpha$。把两条变换一起代入，协变导数的结果只乘上与场相同的相位。

这种“跟着一起变”的性质叫协变。于是 $|D_\mu\psi|^2$ 不依赖规范选择，可以用来写物质场的动能。场强则由两个方向比较的次序差给出：先沿一个方向，再沿另一个方向，与反过来走的结果可能不同。

来源：David Tong

选一个方便计算的代表

若同一个场强对应许多规范势，求解方程时便可以选一种较方便的写法。例如 Lorenz 规范要求 $\partial_\mu A^\mu=0$。这叫规范固定。它限制代表的选取，不能把有场强的情况变成没有场强。满足 $\Box\alpha=0$ 的残余变换仍保持这个条件。

看一个具体例子。在平面内取 $A_x=0$、$A_y=Bx$，磁场垂直纸面，大小为常数 $B$。选择 $\alpha=-Bxy/2$，新势变成对称形式。两个势的箭头分布明显不同，旋度却相同。

从局部变换走到守恒关系

电流 $j^\mu$ 与规范势的耦合包含 $\int d^4x\,A_\mu j^\mu$。变换规范势后，对新增项作分部积分。如果边界项消失，变化量正比于电流散度。局部规范不变性因此要求电流守恒。

在量子理论中，相关函数之间也有这样的关系，统称 Ward–Takahashi 恒等式。最直观的后果出现在外部光子上：给偏振矢量加一个沿光子四动量的分量，散射振幅不变。这个额外分量对应规范冗余。

写外部光子振幅为 $\mathcal A=\epsilon_\mu\mathcal M^\mu$，动量为 $k^\mu$。外部光子与其余物理外态均在壳、对应电流无异常时，完整计算满足 $k_\mu\mathcal M^\mu=0$；故改变 $\epsilon_\mu\to\epsilon_\mu+\beta k_\mu$ 不改变振幅。这常用来查漏掉的图。它要求完整的同一阶计算；任意删去一张图可能破坏抵消。