数据越精确，低能理论就越可靠吗？

同一个遗漏项会影响许多能量点

打开 Furnstahl 等人的 $2015$ 年论文 arXiv:1506.01343v1，先看式 (1)—(2)。它们把预测写成小参数级数，并将保留阶次之后的和定义为余项。第 II 节与表 I 才开始给未知系数指定先验。误差条的概率含义来自这些假设，不能只凭曲线看起来宽一些便指定置信水平。

在我们的重媒介例子里，取 $f_N(x)=\sum_{n=0}^{N}x^n$ ，一次记录为 $d_i=\alpha f_N(x_i)+b x_i^{N+1}+\epsilon_i$ 。若设同一个遗漏系数 $b$ 在所有能量点共用，并给它高斯先验，边缘化后得到相关的理论误差。

K_{ij}=\tau^2x_i^{N+1}x_j^{N+1},\qquad C_{ij}=\sigma_i^2\delta_{ij}+K_{ij}

取

b\sim\mathcal N(0,\tau^2)

。一个未知系数共同抬高或压低多个点，所以协方差通常不是对角矩阵。

来源：R. J. Furnstahl

一次拟合能检查什么

默认教学记录用 $M=2\,\mathrm{TeV}$ 、 $\alpha=0.4$ ，在 $E/M=0.08$ 到 $0.72$ 之间取 $18$ 个点，实振幅加标准差 $0.012$ 的高斯噪声，种子为 $3202$ 。拟合只估计耦合比，重质量当作已知。记录保存后，重新拟合必须读取同一组观测。

先只用统计噪声加权。对于正耦合，完整振幅在截断曲线上方，拟合倾向把耦合抬高以补偿。加入高能点会加强这个趋势。再用 $\tau=0.4$ 的首遗漏项模型，比较参数位移与区间宽度。

这一比较检验所声明的误差模型。完整余项还带有 $1/(1-x)$ ，首遗漏项在高能端可能仍不足。检验一般覆盖率，需要对预先规定的参数与重复采样方案另做计算。

\widehat\alpha=\frac{f^TC^{-1}d}{f^TC^{-1}f},\qquad \sigma_{\widehat\alpha}^2=(f^TC^{-1}f)^{-1}

协方差固定时，这是线性高斯拟合。理论协方差若依赖待估参数，需要重新定义似然，不能照搬这个闭式结果。

真正的尺度变化会混合算符

Manohar 讲义 PDF 第 5.10.1 节式 (5.56)—(5.60) 给出一个可独立复算的例子：两个弱四夸克算符在 QCD 一环下混合。HTML 版将后面的比例与数值标为式 (68)—(70)。设 $n_f=5$ ，最低阶 QCD 系数 $b_0=23/3$ 。混合矩阵的对角元是 $-2$ ，非对角元是 $6$ ；和、差组合的本征值分别为 $4$ 、 $-8$ 。

从初始系数 $(c_1,c_2)=(1,0)$ 出发，令高低尺度的强耦合分别为 $0.118$ 与 $0.22$ 。将比值代入下面的幂，便得表中的结果。运行生成了第二个算符的系数，即使它在初始尺度为零。

c_\pm=c_1\pm c_2,\qquad \frac{c_+(\mu_1)}{c_+(\mu_2)}=\left[\frac{\alpha_s(\mu_1)}{\alpha_s(\mu_2)}\right]^{-6/23},\qquad \frac{c_-(\mu_1)}{c_-(\mu_2)}=\left[\frac{\alpha_s(\mu_1)}{\alpha_s(\mu_2)}\right]^{12/23}

这是五味、固定阈值区间内的最低对数结果。穿过夸克阈值，必须改变有效自由度并做阈值匹配。

依据已发表公式自行复算；输入为强耦合比 0.22/0.118，数值不是实验拟合。
系数	初始	运行后
$c_+$	$1$	$0.850010$
$c_-$	$1$	$1.384050$
$c_1$	$1$	$1.117030$
$c_2$	$0$	$-0.267020$

来源：Aneesh V. Manohar

移动匹配点时要一起搬运系数

把两个尺度之间的运行记成 $U(\mu_1,\mu_2)$ 。先运行到中间尺度再继续，应与一次运行相同。这条组合律可用来检查程序，也说明为什么匹配点不能只在一边移动。完整理论与有效理论在同一尺度匹配，再把系数和算符矩阵元一起运行，物理振幅才在计算精度内不依赖任意尺度。

有限阶的残余尺度依赖常用于诊断遗漏的高阶，但它只探测与已有对数结构相连的部分。树级没有对数、尺度变化为零，也不能推出能量展开的余项为零。第四章给出的精确几何余项正好提供反例。

还可以做一个有限阶检查。固定两端强耦合为 $0.118$ 与 $0.22$ ，在中间尺度把已知的边界运行因子按 $y=0.118/\alpha_s(\mu_m)-1$ 展开到一次或二次，再从中间尺度作精确最低对数运行到终点。换中间尺度后，两种有限展开留下表中的残差；加一阶会缩小这个已知截断误差。

这个小算例检查的是已知对数因子的 Taylor 展开，不含完整理论与有效理论之间未知的有限硬匹配项。表中的残差量化已知最低对数展开的误差。要赋予未知高阶概率区间，仍需另行指定统计模型。

U(\mu_1,\mu_3)=U(\mu_1,\mu_2)U(\mu_2,\mu_3)

在同一有效理论和同一近似下成立。改变粒子阈值时，需要在中间插入相应的匹配。

(1+y)^a=1+ay+\frac{a(a-1)}2y^2+\cdots,\qquad a_+=\frac6{23},\quad a_-=-\frac{12}{23}

中间点的两个边界因子分别取这两个指数；恢复到原系数后，与前表的最低对数终值比较。

固定五味、无阈值的已知对数基准。误差取两个终点系数绝对误差的最大值；中间点等于初始点时边界展开参数为零。
$\alpha_s(\mu_m)$	边界一次展开	边界二次展开
$0.090$	$0.0274750$	$0.00684656$
$0.118$	$0$	$0$
$0.150$	$0.0157440$	$0.00272729$
$0.180$	$0.0439221$	$0.0123466$

来源：Aneesh V. Manohar

正性约束针对哪一个振幅

打开 Adams 等人的 arXiv:hep-th/0602178v2，第 4 节式 (20)，旁边看图 5—6 的前向极点。这里改用它的线性 sigma 模型，研究相同 Goldstone 粒子的弹性散射。它与第四章两种可区分标量的单一通道不同；不能要求第四章任意耦合乘积都为正。

令重标量质量为 $M_h$ ，稳定模型的耦合为 $\lambda>0$ 。无质量外态满足 $s+t+u=0$ 。在前向极限 $t=0$ ，交换对称性把两个极点配成下面的偶函数。直接求导，就得到正曲率。

\mathcal M(s,t)=\frac{\lambda}{M_h^2}\left[\frac{s^2}{M_h^2-s}+\frac{t^2}{M_h^2-t}+\frac{u^2}{M_h^2-u}\right]

这是原论文式 (20) 的等价写法；三个交换道全部保留。

A(s)=\mathcal M(s,0)=\frac{2\lambda s^2}{M_h^4-s^2},\qquad A^{\prime\prime}(0)=\frac{4\lambda}{M_h^4}>0

二阶导数相对于具有能量平方量纲的变量求取，曲率具有逆能量四次方的量纲。

复算原论文树级基准。取耦合 0.2、重质量 2 TeV；曲率为 0.05 每 TeV 四次方。
$x=s/M_h^2$	$A(s)$	最低能量项 $2\lambda x^2$
$0.25$	$0.0266667$	$0.0250000$
$0.50$	$0.1333333$	$0.1000000$
$0.75$	$0.5142857$	$0.2250000$

来源：A. Adams

从极点基准走到研究问题

原论文继续把围道变形成物理割线，并用幺正性把吸收部分连到总截面。这样才把一个具体模型的正曲率推广为满足条件的高能完成所需的约束。关键条件包括相应的解析性、交叉对称性、足够好的高能有界性，以及对低能奇点的正确处理。

有无质量前向交换极点，尤其涉及引力时，简单的前向推导可能失效。有效理论拟合里某个系数为负，也未必违反正性：先要找到被约束的弹性振幅组合，统一基底、尺度和保留阶次。

现在可以提出一个可检验的研究问题：在同一组保存的散射记录上，换截断阶次、能量上限和遗漏系数先验，正性相关组合的后验是否稳定？每次改变只检验一个假设，并同时报告拟合质量。这里复现的是树级极点与最低对数运行基准，未复现全局 SMEFT 数据分析。

数据越精确，低能理论就越可靠吗？

同一个遗漏项会影响许多能量点

一次拟合能检查什么

真正的尺度变化会混合算符

移动匹配点时要一起搬运系数

正性约束针对哪一个振幅

从极点基准走到研究问题

把推理带进实验

分开比较偏置和噪声

把正性相关组合当成观测来搬运

练习与解释性答案

来源与复算范围