换一套算符，约束为什么看起来更紧了？

改变坐标，不改变预测

先把归一化的低能振幅写成 $y(x)=c_0+c_1x$。这里 $x$ 是无量纲能量变量；两个系数也无量纲。用行向量 $r=(1,x)$ 与列向量 $c=(c_0,c_1)^T$，预测就是 $y=rc$。

现在选可逆矩阵 $T$，定义新系数 $c^\prime=Tc$。原系数等于 $T^{-1}c^\prime$，代回预测，便确定新预测行向量 $r^\prime=rT^{-1}$。这是普通坐标变换，实验本身没改。

误差椭圆也要跟着变

记系数均值为 $\bar c$，协方差为 $\Sigma=\langle(c-\bar c)(c-\bar c)^T\rangle$。把每个误差向量乘以 $T$，其外积左右各多一个矩阵，协方差便作合同变换。

现在计算同一观测的方差。新预测行向量带一个逆矩阵，新协方差带一个正矩阵，相乘时它们抵消。图上椭圆变长、变斜，物理预测的误差却不动。判断实验多知道了多少，要比较同一个物理预测。

一个有数字的剪切变换

设原均值为 $(1,2)^T$，两个误差独立，标准差分别为 $0.2$ 与 $0.3$。取剪切变换 $c_0^\prime=c_0+c_1$、$c_1^\prime=c_1$。新均值是 $(3,2)^T$，协方差的两个对角元为 $0.13,0.09$，非对角元为 $0.09$。

在 $x=0.2$ 比较同一个观测。原写法 $c_0+0.2c_1$ 给出 $1.4$，新写法 $c_0^\prime-0.8c_1^\prime$ 也给出 $1.4$。新协方差中的相关项恰好抵消了一部分对角贡献，方差都等于 $0.0436$。

把先验重置，就换了问题

假设原来给每个系数独立、同宽的高斯先验。换基底后把先验重新设为同样的独立高斯，看起来很自然，实际上挑选了另一组物理函数。原先的圆经过剪切会变成椭圆；再画一个圆就没有沿用原假设。

若数据为 $d=Xc+\epsilon$，设计矩阵必须变成 $X^\prime=XT^{-1}$。高斯似然的二次型随后不变。若还要比较完整概率密度，变量替换的 Jacobian 也要保留；归一化密度随坐标体积变换，概率本身保持不变。

一般有效场论还会使用场重定义与运动方程，删除对所研究散射不独立的算符。这比有限维可逆换坐标更进一步，需要保持相同截断阶次，并一起变换全部相关项。一般冗余算符的删除，需要在同一阶完成相应的场论推导。

来源：Aneesh V. Manohar

把这个检查用在一次拟合上

先选择实际要比较的散射能量，再比较该能量处的预测带。接着改变基底，检查中心和宽度。最后故意漏掉协方差变换，看看哪里出了变化。这比比较两个系数的独立误差条更容易指出错误。

换基底也不能补救模型遗漏。若高能端已经超出低能展开范围，即使所有矩阵都变换正确，同一个偏置预测仍会在两套基底中保持一致。下一章分别处理这个偏置和对未知高能理论的正性要求。