FR02 · 给同一个理论换一套坐标

算符基底与伪约束

换一套算符基底，物理预测就能变得更精确吗？ 换算符基底时，系数和协方差一起变换，预测及其不确定度就保持不变。若在新坐标里沿用旧协方差，等于改了对误差的假设；约束看似更紧，数据提供的信息却没有增加。

剪切、拉伸两个算符组成的基底。系数椭圆会变形，观测量的误差带却保持原样。故意沿用旧协方差，就能看见一条看似更紧的约束是怎样出现的。

观测量均值 $1.09$

正确标准差 $0.110$

沿用旧协方差的标准差 $0.189$

场景显示系数坐标：青色为原高斯分布，金色为它在新基底中的样子。椭圆取单位 Mahalanobis 半径。

观测量的误差保持不变

跟着预测一起换基底

正确均值与一个标准差带变换后预测与参考重合错误：沿用旧协方差

分布在原坐标中给定。变换后的算符、系数和协方差共同描述同一个分布。

模型、假设与来源

模型含两个独立的多项式响应，并给定高斯系数分布。椭圆取单位 Mahalanobis 半径，包含二维高斯分布的百分之三十九点三；预测带取一个标准差。基底变换始终可逆，删去算符或换先验会改变推断问题。

O'=BO,\quad c'=B^{-T}c,\quad\Sigma'=B^{-T}\Sigma B^{-1}

响应分别是常数和无量纲变量的一次幂。参考系数为零点八和零点四五，标准差分别为零点一二和零点一五，协方差为负零点零零九。图中的椭圆包含二维高斯分布的百分之三十九点三；误差带显示每个标量预测的一个标准差。

珊瑚色带故意在新坐标中沿用原协方差。带宽改变是因为分布变了，坐标变换本身没有增加数据。利用场方程消去冗余算符属于进一步的 EFT 操作，不在这个双独立算符例子的范围内。

先抓重点

O=\begin{pmatrix}1\\x\end{pmatrix},\quad O'=BO,\quad B=\begin{pmatrix}1&k\\0&a\end{pmatrix},\quad c'=B^{-T}c,\quad c'^TO'=c^TO

两个响应函数分别是常数和无量纲能量变量的一次项。缩放因子始终为正，变换随时可以反解。

\Sigma'=B^{-T}\Sigma B^{-1},\qquad \sigma_y^2=O^T\Sigma O=O'^T\Sigma'O'

椭圆的窄方向和宽方向要一起移动。算符换了却沿用旧协方差，就给出了另一个分布，预测带也会随之改变。

容易误解看上去最窄的椭圆包含的信息最多。

正确理解缩放坐标就能把系数范围画小。比较信息量之前，先通过算符响应把协方差传到观测量上。

容易误解分别变换两个标准差就够了。

正确理解协方差的非对角项决定椭圆的倾斜。漏掉它，两个系数组合出来的预测误差就会改变。

01
剪切基底
左右拖动金色手柄，比较系数椭圆和下方的观测量。
你会看到： 椭圆会倾斜、拉长，正确变换后的预测带保持原样。
02
查看伪约束
选择“看似收紧的误差带”，在几个预测位置比较珊瑚色带和青色带。
你会看到： 珊瑚色计算把旧协方差塞进新基底；看似提高的精度来自假设的改变。
03
回到原坐标
选择“原始基底”，再换回另一个预设，导出系数分布。
你会看到： 每一种可逆基底都给出同一个物理均值和方差。