换一套相位刻度，粒子会改变运动吗？

远处的两个箭头怎样比较

想象四个站点围成一个正方形。每个站点都有一只表示复振幅的箭头。箭头长度的平方决定在这里找到粒子的概率；方向叫相位。单独一只箭头指向十二点还是三点，没有可直接读出的绝对意义，干涉才能比较相位。

把站点编号为 $i=0,1,2,3$ ，按左、上、右、下的位置连接，与实验中的 A、B、C、D 对应。站点振幅记作 $\psi_i=\rho_i e^{i\theta_i}$ ；模长 $\rho_i$ 无量纲。链变量 $U_{ij}=e^{ia_{ij}}$ 把站点 $j$ 的相位运到站点 $i$ 来比较。这里所有相角都用弧度。

比较前先搬运，这一步很重要。两个城市的钟可以各自拨快几分钟，只要时差表也改对，火车相遇的时刻就不会改变。相位的局部刻度同样需要一张“时差表”。

\psi_i^*U_{ij}\psi_j=\rho_i\rho_j e^{i(\theta_j-\theta_i+a_{ij})}

这一乘积把两端振幅与沿途比较规则放在一起；它的实部可进入跃迁能量，虚部可进入链上的概率流。

把两端和中间一起变换

在每个站点任选一个转角 $\alpha_i$ 。给箭头换刻度后，站点相位增加 $\alpha_i$ 。链变量必须补偿两端刻度的差，才能继续比较同一个物理态。

现在直接代入上面的乘积。左端振幅的相位、链变量补上的相位、右端振幅的相位逐项抵消。留下的还是原来的数。这就是规范不变量：它可以换写法，数值不依赖局部刻度怎么选。

\psi_i\longrightarrow e^{i\alpha_i}\psi_i,\qquad U_{ij}\longrightarrow e^{i\alpha_i}U_{ij}e^{-i\alpha_j}

链的方向固定为从右下标指向左下标；反向链取复共轭。

\theta_j-\theta_i+a_{ij}\longrightarrow\theta_j+\alpha_j-\theta_i-\alpha_i+a_{ij}+\alpha_i-\alpha_j

所有新增转角抵消，相邻站点的协变相位差保持不变。

来源：David Tong

走一圈之后剩下什么

沿正方形走一圈，每经过一个站点就换一次局部刻度。中途的换算前后抵消，回到起点时可能仍多出一个相位。这个闭环乘积叫 Wilson 环。它能看见局部刻度无法抹去的闭环信息。

取按下标排列的闭环乘积 $W=U_{01}U_{12}U_{23}U_{30}$ 。对这里的 Abelian 相位，乘法可交换，闭环只由链相角之和决定。连续电磁场中，相应的相位由有向磁通乘电荷与约化 Planck 常数之比给出；正负号还取决于搬运和电荷的约定。

在一棵没有闭环的树上，可以从起点依次选择局部刻度，把每条链都改写成单位链。有闭环时，最后一条边会留下整圈相位。环路因此提供了一个简单办法，检查某次改动究竟只是改写，还是改了物理条件。

W=e^{i\Phi},\qquad \Phi=a_{01}+a_{12}+a_{23}+a_{30}\pmod{2\pi}

这里的磁通相位无量纲。它在增加整圈之后回到同一个 Wilson 环。

一个可手算的四站点例子；相角单位为弧度，表中不含采集数据。
情况	四条链相角 $(a_{01},a_{12},a_{23},a_{30})$	闭环相位 $\Phi$
均匀分布	$(0.2,0.2,0.2,0.2)$	$0.8$
只把站点 0 刻度转 $0.5$	$(0.7,0.2,0.2,-0.3)$	$0.8$
实际增加一条链的通量相位	$(0.4,0.2,0.2,0.2)$	$1.0$

规范冗余和物理对称

规范变换把同一个物理状态换了一套描述。真正的物理对称则把状态映到另一个状态，同时保持物理规律。例如，把整套孤立装置在空间中旋转，通常会得到朝向不同、能量相同的状态。

“局域相位可以任意选”说的是描述冗余。带边界系统的电荷与允许在边界非零的变换，需要另外讨论；不能凭“相位都是冗余”便删掉电荷。下一章从相邻站点的比较走到连续空间，看看普通导数为什么需要修正。

换一套相位刻度，粒子会改变运动吗？

远处的两个箭头怎样比较

把两端和中间一起变换

走一圈之后剩下什么

规范冗余和物理对称

把推理带进实验

比较换规范和改磁通

练习与解释性答案

来源与复算范围