M073 · 恒星的哪一部分在动

径向速度、活动恒星与双星质量

重复的多普勒位移，能证明那里有行星吗？ 重复的多普勒位移，既可能来自轨道运动，也可能来自旋转的活动表面。行星让整颗恒星的谱线一起移动，活动区则改变不同表面速度贡献的光。把谱线形状、亮度和活动指标放在速度旁边，再比较解释。

拖动旋转星盘上的活动区，比较谱线形状、亮度与光心怎样变化，再加入行星牵动恒星的轨道运动，或回到原有双星质量实验。

整条谱线重心 · 米每秒 $-18.3$

连续谱与安静恒星之比 $0.982$

投影活动比例 $0.0264$

光心偏移 · 微角秒 $2.75$

移动活动区

活动区角宽

8

\sigma_{\rm spot}\;[{}^{\circ}]

变暗对比度；负值变亮

0.7

c_{\rm spot}

恒星自转周期

23.81

P_{\rm rot}\;[\mathrm d]

行星质量 · 标称地球质量

25

m_{\rm p}/\mathcal M_\oplus^{\rm N}

自转轴与视线夹角

60

i_{\rm spin}\;[{}^{\circ}]

拖动可见活动区，改变它在恒星表面的位置。谱线和光心都来自同一片明暗表面。

轨道、对流与近似范围

局部对流位移抑制量

100

\Delta v_{\rm conv}\;[\mathrm{m\,s^{-1}}]

行星公转周期

12.7

P_{\rm p}\;[\mathrm d]

轨道倾角

60

i_{\rm orbit}\;[{}^{\circ}]

轨道偏心率

0.1

e

伴星近心方向

35

\omega_{\rm companion}\;[{}^{\circ}]

距离

20

d\;[\mathrm{pc}]

负对比度表示亮区。活动代理量是按临边亮度加权的投影覆盖比例，没有校准成钙活动指数。局部对流位移直接给定；自转与轨道倾角可以不同。

阅读课程，比较真实 HARPS 后验模型

模型假设

单线模式把球形恒星各处的对称高斯吸收线相加，采用固定二次临边昏暗。一个预先指定的球面高斯活动区改变连续谱亮度，并可抑制给定的局部对流位移。线心速度取整条吸收亏损的一阶矩；投影活动比例是教学代理量，没有校准钙发射模型。光心同时包含表面亮度与同一条恒星开普勒轨道。标称太阳半径及引力参数给出物理尺度。不计算活动区演化、差异自转、真实谱线平分线、振荡、米粒组织、相对论位移、有限伴星遮挡或仪器噪声。真实 HARPS 教程另列。原有双星模式保留完整四十八组成对合成双线速度与相对天空位置，分别设置真实和采用的倾角、周期及距离；天空方向已知，恒星按放大的质点标记显示，不计算遮食和碰撞。两种模式的径向速度正值都表示远离观察者。

合成表面积分与同一条 Kepler 轨道。青色是整条谱线重心，灰色轨道速度参考不含表面活动。

当前时刻的未分辨吸收线

谱线重心与恒星轨道参考

连续谱变化与投影活动比例

观测者天空里的亮度光心

物理单位、数值与显示约定

恒星亮度与活动区采用同一给定表面律。高斯角宽描述平滑区域，不是硬边圆斑。灰色谱线参考是采用同一轨道位移的安静旋转恒星。各处吸收线的宽度、深度相同；不计算真实谱线不对称或钙发射辐射转移。

恒星半径和引力参数分别为一个标称太阳值；行星质量采用标称地球引力单位。光心既含亮度结构，也含恒星轨道位置。场景放大恒星绕质心的位移，数值天空位置均使用未放大的物理值。

保存的60天合成观测；星面动画标出当前日期。

从旋转星面记录下来的光

含噪的曝光平均同一星面的无噪声参考

保留多解的周期概率

单图案周期双图案周期

固定经验标尺下的条件年龄

三个星团锚点；完整的周期多解一起进入年龄计算。

同一片星面也会改变吸收线

$t_{\rm obs}=1.43\,\mathrm d$

当前瞬时合成谱线同一旋转星面移去活动区的参照下方另用刻度显示差值

谱线使用当前星面的时钟与设置。每条线按各自连续谱归一化，局部高斯线宽为给定值；上方光变保存的是曝光平均。

另开一个风制动时钟

这个教学模型把恒星转动惯量固定，给定的恒星风力矩使自转减慢。它独立于上方经验年龄密度；绿点是演化快照，不是当前观测日期。

初始自转周期，单位为天演化经过的时间，单位为十亿年

$t=1.00\,\mathrm{Gyr},\quad P=9.55\,\mathrm d$

系数和饱和阈值在课程中给出。这里不含收缩、内部结构演化或质量、金属丰度校准；这条曲线从不直接提供年龄推断。

这个时钟为什么会失灵？

太阳大小的球面上有一片高斯暗区。固定的临边亮度、局部自转速度和给定的对流位移使用同一批面元。不同纬度的转速可以不同，暗斑与经线一起运动。高斯包络同时改变亮度、对流和活动面积代理量；它的时宽不等于真实暗斑的出生或死亡时刻。

推断只读取保存的亮度、误差、曝光时长和时刻。四阶平稳谐波采用归一化高斯振幅先验。声明的等权先验保留单图案与双图案周期，日混叠也保留。相对“常数加趋势”模型的贝叶斯因子不是假警报概率。信号太弱、残差过大或观测窗口不足两圈时，不给出年龄。

标尺使用蜂巢星团、NGC6811与Ruprecht147的观测自转周期，有效散布混合了未知的测量误差与物理分散。温度支持域为 $4245.37\leq T_{\rm eff}/\mathrm K\leq5832.12$ ，固定年龄范围为 $0.67\leq t/\mathrm{Gyr}\leq2.7$ 。这些是标尺边界，不是恒星年龄的物理界限。冷星停滞以及共享的消光、年龄尺度假设仍然存在；这里不声称绝对年龄精度。

阅读课程，复算星团对照

先抓重点

核心问题: 反复出现的速度，就证明了轨道吗？
一句话直觉: 整线重心是按亮度加权的速度；恒星转动时，权重本身也会变化。

核心数学模型

同一张表面，几种观测量

F=\int W\,\mathrm dA,\quad \overline v=F^{-1}\int Wv\,\mathrm dA,\quad X=F^{-1}\int Wx\,\mathrm dA

谱线、亮度与光心共用投影面积的光权重。活动代理量是规定的面积响应，不是实测钙线。

安静恒星的开普勒极限

K=\left(\frac{2\pi G}{P}\right)^{1/3}\frac{m\sin i}{(M_\star+m)^{2/3}\sqrt{1-e^2}}

对称安静表面回到这个轨道尺度。单谱线速度通常限制最小质量，除非另有倾角约束。

共享的潜在活动过程

y_v=m_{\rm Kep}+aG+b\dot G+\epsilon_v,\qquad y_h=AG+\epsilon_h

公开教程保留各项分配的后验与完整协方差，没有扣掉一条最佳活动曲线就把剩余项当成确定答案。

常见难点

最暗的时刻

容易误解最暗时一定偏移最快。

正确理解中心暗区拿走的自转速度很小；偏离中心时少掉的光，反而可能造成更大速度偏移。

拟合成功之后

容易误解残差小，就证明选中的行星真实存在。

正确理解活动既能模仿也能吸收轨道，要一起检查独立指标、先验敏感性、时间窗注入与采样诊断。

动手实验

01
拿掉伴星
选“只有星斑”，把活动区拖过可见星盘。
你会看到： 灰色轨道参考为零，青色谱线重心与光量仍在变化。
02
改一种活动机制
选“明亮磁活动区”，在高级设置改变对流抑制。
你会看到： 对比度固定，线中心仍会改变，亮度本身扣不掉这部分贡献。
03
回到安静轨道
选“安静恒星在晃”，改变轨道倾角。
你会看到： 重心跟随仅伴星参考，正面看时径向分量消失。
04
保留原双星实验
打开“原双星轨道”，在采用的几何下拟合原来的48组成对观测。
你会看到： 两条速度限制质量比，绝对质量仍依赖采用的倾角与距离。

原双星模型条件

原双星范围：孤立牛顿点质量，以天文单位、儒略年、太阳质量和已说明的教学引力常数计算；不含食、光谱、光行时或相对论。轨道形状与历元已知，周期、倾角和距离为采用值。振幅标准误差只是条件残差误差，不是完整质量不确定性。

物理教程

测量质量，也是在测量几何

背景孤立的双星在牛顿引力下绕质心转。光谱看到的是视线方向的运动，天体测量看到的是天空上两个投影坐标；同一条三维轨道，两种方法各自漏掉不同的部分。

为什么值得理解正面观察的轨道可以转得很快，视线速度却不变。Miller 对双星质量函数的讨论解释了这层投影；这里把轨道形状和历元作为已知，检验明确采用几何条件下的振幅拟合。

先抓重点

核心问题: 哪些观测能确定质量？还剩下哪些假设？
一句话直觉: 两条速度曲线一起拟合，可以测出振幅和质量比；总质量还要知道观察几何，角运动还要知道距离。残差再干净，也证实不了这些外部假设。

核心数学模型

两个天体，一条相对轨道

\mathbf r_1=-\frac{M_2}{M_1+M_2}\mathbf r,\qquad\mathbf r_2=\frac{M_1}{M_1+M_2}\mathbf r

较重的恒星绕质心的轨道更小；画出的相对轨道是两星之间的分离矢量。

周期与总质量

P^2=\frac{4\pi^2a^3}{G(M_1+M_2)}

在天文单位、年和太阳质量这套教学单位里，引力常数等于四倍圆周率的平方；半长轴指相对轨道的半长轴。

天空投影运动

X=x\cos\omega-y\sin\omega,\quad Y=(x\sin\omega+y\cos\omega)\cos i,\quad Z=(x\sin\omega+y\cos\omega)\sin i

轨道倾斜后，一个天空坐标被压缩，同时出现视向速度；角距离还取决于距离。

双线速度拟合

v_1=\gamma-K_1[\cos(\nu+\omega)+e\cos\omega],\quad v_2=\gamma+K_2[\cos(\nu+\omega)+e\cos\omega]

线性回归拟合共同的系统速度和两个振幅。轨道形状和相位取自独立的信息；采用的周期如果有偏差，拟合用的基函数也会跟着变。

光谱真正确定的量

\frac{M_2}{M_1}=\frac{K_1}{K_2},\qquad (M_1+M_2)\sin^3i=\frac{P(K_1+K_2)^3(1-e^2)^{3/2}}{2\pi G}

不知道观察倾角，投影质量只是下限，不是真实质量。接近正面观察时，径向信号趋于零；本实验要求两个振幅都超过三个条件标准误。

距离以三次方进入

a_{\rm fit}=\theta_{a,\rm fit}d_{\rm fit},\quad M_{\rm ast}=\frac{4\pi^2a_{\rm fit}^3}{GP_{\rm fit}^2},\quad M_{\rm RV}=\frac{M_{\rm proj}}{\sin^3i_{\rm fit}}

拟合角半长轴时，假设采用的投影几何是对的。即使角残差很小，距离偏了多少倍，天体测量质量就偏这个倍数的三次方。

常见难点

投影不是质量

容易误解拟合出的速度振幅本身就能确定质量。

正确理解径向速度给出的是质量乘以倾角正弦的三次方，要把所有符合的质量一起考虑。

信号为零，看不出质量

容易误解正面观察没有信号，说明恒星没有质量或不在运动。

正确理解轨道在天空上依然存在；两个径向信号一起消失，质量比无法确定。

残差好，不能验证假设

容易误解残差很小，就证明采用的距离和倾角是对的。

正确理解不同的物理质量和观察几何，可以给出同样的速度记录；距离是角拟合之外的信息。

标准误是有条件的

容易误解振幅的标准误就是完整的质量误差。

正确理解它没有包括周期、轨道形状、相位、距离和倾角的不确定性；接近正面时，反演很难确定。

动手实验

01
恢复无噪双星
先比较载入的完整速度记录与质量估计，再选“恢复质量”看无噪极限；完整数值区保留真实质量和天体测量质量。
你会看到： 振幅给出质量比；采用的倾角正确，总质量也就恢复了。
02
分开观察和分析
拖动紫色伴星改变真实倾角，再在高级区把采用倾角调到同一个值。
你会看到： 投影质量随观察角改变；只有采用的角度正确，修正后的质量才一致。
03
诊断错误周期
在高级区比较“周期错误”和“带噪观测记录”，展开条件拟合残差，再点“新观测记录”。
你会看到： 周期偏差会在残差里留下有规律的结构；带种子的高斯误差则在条件拟合周围随机起伏。
04
质疑干净的结果
选择“采用距离错误”，再选“正面观察的弱信号”。
你会看到： 角拟合很干净，质量也可能有偏差；接近正面时，天空上明明看得见轨道运动，光谱却分辨不出质量。

先抓重点

核心问题: 什么时候星斑时钟能给出有用的恒星年龄？
一句话直觉: 从保存的观测推周期，保留多解，再把似然与温度相关的标尺结合。

核心数学模型

不同纬度的时钟

\Omega(\lambda)=\Omega_{\rm eq}(1-\alpha\sin^2\lambda)

同一条相位规律推动暗斑和经线，局部面元速度也采用它。

经验年龄似然

\mathcal L(t)=\sum_m\pi_m\int\!\int Z(m/P)p(P\mid t,T)L_T(T)\,dP\,dT

保存光变的原始似然只用一次，所有有支持的周期一起参与。

独立的教学风时钟

P^2=P_0^2+8\pi^2\kappa t

非饱和、固定惯量支给出这条关系。演化时间用十亿年，星面动画的观测时间用天。

常见难点

一圈可以明暗重复两次

容易误解最高周期峰总等于赤道自转。

正确理解纬度和多个活动经度会改变时钟；保存的光需要保留多解，推断不能读取注入几何。

标尺端点是条件

容易误解最老标尺星团给出物理年龄上限。

正确理解边缘积累提示需要更老标尺或另一种年龄方法，有限支持域本身不能建立物理上限。

动手实验

01
把暗斑拖向高纬
选择高纬预设，暂停，再拖动可见暗斑。
你会看到： 差分自转改变局部时钟，赤道周期仍是另一项模拟参数。
02
比较变化中的图案
依次选择短寿命和正轴预设。
你会看到： 保存数据的检查会因图案不稳定或调制不足而暂不给年龄。
03
只改年龄假设
恢复持久时钟，比较两种年龄先验。
你会看到： 保存的光相同，先验改变，条件年龄密度也会改变。

核心数学模型

同一张表面，几种观测量

安静恒星的开普勒极限

共享的潜在活动过程

常见难点

最暗的时刻

拟合成功之后

动手实验

拿掉伴星

改一种活动机制

回到安静轨道

保留原双星实验

核心数学模型

两个天体，一条相对轨道

周期与总质量

天空投影运动

双线速度拟合

光谱真正确定的量

距离以三次方进入

常见难点

投影不是质量

信号为零，看不出质量

残差好，不能验证假设

标准误是有条件的

动手实验

恢复无噪双星

分开观察和分析

诊断错误周期

质疑干净的结果

核心数学模型

不同纬度的时钟

经验年龄似然

独立的教学风时钟

常见难点

一圈可以明暗重复两次

标尺端点是条件

动手实验

把暗斑拖向高纬

比较变化中的图案

只改年龄假设

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