从一条谱线，走到一个质量

先约定，哪一边为正

把视线坐标的正方向定为远离我们。在低速近似下，远离的光源让波长变长：用波长改变量除以静止波长，再乘光速，就得到一阶多普勒速度。新表面模型用米、秒和名义太阳及地球引力参数；原双星模式保留它已经说明的天文单位教学约定。

v_r\simeq c\frac{\lambda-\lambda_0}{\lambda_0}

这是在明确观测参考系与静止波长之后的一阶关系。恒星对流、引力红移和仪器零点，也会贡献到报告的绝对速度中。

一条位于 600 纳米的线，遇到每秒 1 米的速度，只移动约 0.000002 纳米。精密光谱并不是盯着屏幕上的一个像素读位移，而是合并许多经过标定的谱线信息。Lab 的单条吸收槽采用刻意简化的局部线型，并没有模拟 HARPS 的完整数据处理。

把相对轨道半长轴记为 $a$ ，恒星绕质心的半长轴记为 $a_\star$ 。牛顿引力与质心条件先给出下面两式；轨道角频率再把恒星轨道半径换成速度，视线投影贡献倾角的正弦。

n^2a^3=G(M_\star+m),\qquad a_\star=\frac{m}{M_\star+m}a

这里

n=2\pi/P

；倾角为零表示正面看轨道。第一式的半长轴属于相对轨道，还没有乘上质量分数。

K=\left(\frac{2\pi G}{P}\right)^{1/3}\frac{m\sin i}{(M_\star+m)^{2/3}\sqrt{1-e^2}}

椭圆轨道的速度尺度还含偏心率因子。这个半振幅属于给定的开普勒轨道；活动造成的谱线重心变化不能直接代入。

取名义地球引力质量、名义太阳和一儒略年圆轨道，从侧面看，半振幅约为每秒 0.089 米。把倾角降到 30 度，振幅减半；在小伴星近似下，要得到原来同样的振幅，伴星质量就得约增为两倍。所以单谱线速度常给出的是最小质量。

Lab 的角度指伴星的近星点。恒星绕共同质心的位置和速度与伴星相反，因此下式带负号。常见的正号版本指恒星自己的近星点，两者相差半周；约定用对了，描述的仍是同一条轨道。

v_\star=-K\left[\cos(\nu+\omega_{\rm companion})+e\cos\omega_{\rm companion}\right]+\gamma

真近点角沿伴星的相对轨道计算，常量项是速度参考零点。合成记录把这个参考设为零。

圆轨道没有独立可识别的近星点方向，相位可以写进正弦与余弦系数。真实数据教程因此采用两个相位自由的圆轨道分量，不靠一段短观测声称测出了偏心率。短周期是外部已知条件，也没有被当成一次全周期搜索的结果。

还需要恒星质量和倾角。凌星可以在给定几何模型下限制倾角，天体测量在分辨出轨道幅度与方向时也能提供条件。这里的合成表面场景并没有这些实测约束。“正面看自转与轨道”预设正好展示退化：天空方向可以有明显运动，轨道径向速度却为零。

原双谱线双星模式提供另一个极限：两条速度振幅限制质量比，再加入可分辨轨道，或采用倾角和尺度，才能补足质量信息。它的条件拟合固定了已说明的轨道形状和时刻；振幅误差小，不等于所有轨道与标定误差都消失了。