两种解释，怎样一起留在后验里

同一个过程，两种响应

用无量纲潜过程表示随时间演化的活动覆盖。钙线指标可以跟随覆盖量，速度则可能同时响应覆盖量及其变化率，于是得到下面这个紧凑的联合模型。它描述统计响应，没有反演出真实星斑地图。

y_v(t)=m_{\rm Kep}(t)+\gamma_v+aG(t)+b\dot G(t)+\epsilon_v,\qquad y_h(t)=\gamma_h+A G(t)+\epsilon_h

时间单位是天，因此导数系数单位为米每秒乘天。钙指标以负 4.72 为固定原点、除以 0.01；正的钙响应系数固定潜过程的符号约定。速度的固定原点为每秒 31180 米。

协方差取单位方差的准周期形式：时间靠近会相关，自转相位接近也会相关，演化时间尺度则逐渐抹去相似性。下面的周期宽度沿用 Rajpaul 的归一；Haywood 文中的宽度参数与它相差两倍。只抄数值、不抄定义，会改变先验。

k(\tau)=\exp\left[-\frac{\tau^2}{2\ell_e^2}-\frac{\sin^2(\pi\tau/P_r)}{2\ell_p^2}\right],\qquad \tau=t-t'

这是平稳、现象性的核函数。它的复现时间不等于已经精确测定的自转周期，尤其当观测只跨约一次自转时。

对应阅读：Rajpaul et al. — joint activity processes, arXiv:1506.07304v1 · Haywood et al. — CoRoT-7, arXiv:1407.1044v1

对两个时刻求导，符号不能抄反

先写出对数导数。对第二个时刻求导时，时间差变小，符号会反过来；再对两个时刻各求一次导数，得到导数过程的协方差。不同时间的速度—钙线块互为转置，不能直接复制成同一块。

h=-\frac{\tau}{\ell_e^2}-\frac{\pi\sin(2\pi\tau/P_r)}{2P_r\ell_p^2},\quad \partial_tk=hk,\quad \partial_{t'}k=-hk

同一时刻的一阶导数为零。只检查这个极限抓不住交叉协方差的错号，所以独立有限差分还检查了不同时刻。

h'=-\ell_e^{-2}-\frac{\pi^2\cos(2\pi\tau/P_r)}{P_r^2\ell_p^2},\qquad \partial_t\partial_{t'}k=-(h'+h^2)k

速度—钙线块为

A(ak+b\partial_tk)

，转置块使用第二时刻的导数。平稳速度块为

a^2k+b^2\partial_t\partial_{t'}k

，两个一阶交叉项相互抵消。

随后加上原文测量方差与各通道独立的正抖动方差。完整矩阵包含全部 71 个速度和 71 个钙指标，大小为 142。BIS 与半高全宽仍保存在原始数值里，但没有凭空补上逐点误差来参加似然。

对应阅读：Rajpaul et al. — joint activity processes, arXiv:1506.07304v1 · Rasmussen & Williams — Gaussian Processes for Machine Learning, Chapter 2

把线性系数积分掉

固定非线性参数后，把轨道正余弦和两个通道零点写成设计矩阵，给系数一个正规的零均值高斯先验。配方得到条件协方差与均值；把系数积分掉，则得到带完整归一化的超参数边缘密度。

V=(\Lambda^{-1}+X^{\mathsf T}C^{-1}X)^{-1},\qquad \mu=VX^{\mathsf T}C^{-1}y,\qquad y\sim\mathcal N(0,C+X\Lambda X^{\mathsf T})

给不同超参数加权或比较模型时，归一化中的行列式不能漏。只保存一组拟合系数，并没有保存这个分布。

默认重跑给正弦与余弦系数独立的每秒 10 米标准差，因而非负振幅隐含的是瑞利先验。改成每秒 3 米的实验会明确改变它。短周期固定为 0.85359165 天，第二周期在 3.3 至 4.1 天之间均匀分布。这是在指定轨道假说下的条件推断，没有遍历所有周期和行星个数。

对应阅读：Rasmussen & Williams — Gaussian Processes for Machine Learning, Chapter 2 · Rajpaul et al. — joint activity processes, arXiv:1506.07304v1

一个看得见先验作用的小例题

假设测得某个正弦系数为 10，误差为 1；行星项和活动项却乘着完全相同的正弦。两项先验独立，标准差分别为 5 和 10。总和再加噪声的方差为 126。高斯条件分布把行星均值分到 $25(10)/126\simeq1.98$ ，活动分到 $100(10)/126\simeq7.94$ 。行星标准差仍约为 4.48，两部分还有很强的负协方差。

若再有一次独立活动观测，结果为零、误差为 1，活动后验方差变成 $100/101$ 。同一个速度观测此时给出行星均值约 9.26、标准差约 1.36。第二通道带来了独立信息，改变了分配，并没有给出放之四海而皆准的扣除系数。

公开注入实验在真实观测时刻上重做这个问题，数值全部为合成。为看清退化，它专门使用相干的单谐波高斯过程，与实测拟合的完整准周期核分开。行星周期接近自转时，活动先验可以吸收或释放轨道振幅；有约束力的合成活动通道则会帮助分开两者。因为真值已知，这个实验才便于诊断。

对应阅读：Rasmussen & Williams — Gaussian Processes for Machine Learning, Chapter 2 · Rajpaul et al. — joint activity processes, arXiv:1506.07304v1

非线性混合，还要检查采样

非线性参数通过防御性混合提议采样：保留百分之十五的完整先验分量，再加多个自适应 Student 分量。每一点用精确的似然乘先验、除以完整提议密度来加权。适应阶段的样本被丢弃，最终样本另行生成；条件高斯的均值和完整协方差再按全期望、全协方差合并，保留参数间的相关。

最初 512 个先验节点的有效样本数接近一，计算失败。最终联合模型在 32768 点中有约 6409 的有效样本数，最大归一权重约 0.00235；独立种子和 65536 点加密给出接近的振幅区间。已知高斯目标和分离的三峰目标另行检查归一化与模态覆盖。这些诊断支持所声明先验下的计算，不证明所有合理的恒星活动模型都被研究完了。

对应阅读：Rasmussen & Williams — Gaussian Processes for Machine Learning, Chapter 2 · Haywood et al. — CoRoT-7, arXiv:1407.1044v1

两种解释，怎样一起留在后验里

同一个过程，两种响应

对两个时刻求导，符号不能抄反

把线性系数积分掉

一个看得见先验作用的小例题

非线性混合，还要检查采样

练习与解释性答案

动手检验预测

找到亮度扣不掉的贡献

来源与计算范围