自转年龄需要一条分布和一把标尺

先问同龄同温度的恒星会转多快

用$t$表示年龄，单位十亿年；$T$表示有效温度；$P$表示以天为单位的观测表面周期。经验标尺给出$p(P\mid t,T)$。即使年龄、温度相近，周期也未必完全一样：早期转速历史、星面图案和未知的测量误差都能把序列摊宽。

这一章的对数都取自然对数。对数正态的宽度，指自然对数周期的标准差。

教学标尺分别拟合蜂巢星团、NGC6811和Ruprecht147的温度—对数周期三次曲线。固定年龄依次是0.67、1.0、2.7十亿年；限温样本分别有64、103、24颗星。相邻年龄之间，对数周期均值和有效对数周期散布都按对数年龄线性插值，没有强迫各温度共用一个年龄指数，也没有擦去序列交叉。

预测分布采用0.5至60天支持域内的对数正态。有效时宽取残差的中位绝对偏差（MAD）尺度与给定时宽中的较大者：年轻序列给一天，老序列给两天，再换成对数时宽。这混合了物理分散与未知训练误差，是明确采用的预测办法，不能称为新测得的本征散布。

三个锚点实际共有的温度范围只有4245.37至5832.12开尔文。NGC6819则留下来，做整个暖星样本的外部检验。把它延伸到冷星需要尚未检验的外推；现有暖星数据留作整团检验。

对应阅读：Curtis et al. (2020), When Do Stalled Stars Resume Spinning Down? Advancing Gyrochronology with Ruprecht147, arXiv2010.02272v1 · Bouma, Palumbo & Hillenbrand (2023), The Empirical Limits of Gyrochronology, arXiv2303.08830v1

观测光只用一次

上一章从保存光变得到边缘似然$Z(g)$。在第$m$种图案假设下，试探频率为$g=m/P$。温度观测提供带给定标准误差的高斯似然$L_T(T)$；温度积分以实际共同支持域为条件。如果温度中心本来就在域外，这一版会拒绝给年龄。

周期图的概率分布已经乘过周期先验。再把它直接塞进年龄积分，就把同一先验算了第二遍。程序保留原始频率似然测度，直接与标尺给出的周期分布结合。

数值积分令$u=\log g$，于是$P=m e^{-u}$，$dP$的绝对值为$Pdu$。这个因子恰好抵掉对数正态中的周期倒数。余下的对数周期高斯核，与$Z(g)du$一起用正权节点积分；独立积分和加密网格会对照同一条年龄曲线。

合成预设参数放在推断之外。验证模拟时，可以看注入的赤道周期和纬度；从保存光变推年龄时，程序没有这两个输入。真实星团标尺也使用观测周期，没有偷用“已知纬度”把样本校成真实赤道周期。

选先验，再归一化

年龄似然还不是年龄概率密度。把它乘上可归一化年龄先验，再在0.67至2.7十亿年的支持区间上归一化。年龄均匀和对数年龄均匀都是明确选择，两者在区间内给不同权重。

默认合成记录的十天、二十天周期解释，偏好经验序列中不同的部分。年龄均匀先验下，中央95%区间约为0.725至2.67十亿年，跨过一条宽而有结构的分布。一个中位数很难把这幅形状说清楚。

中央95%区间把最年轻端2.5%的概率和最老端2.5%的概率留在外面。若密度分成两峰，这个区间也会跨过中间概率很低的年龄段，读端点时要连同形状一起看。

改用对数年龄均匀先验，年轻年龄会获得更大权重。同一串保存的光，便给出另一条年龄密度。这种可见差别来自明确写出的星群假设，尤其会影响有分离周期解的记录；周期似然本身没有改变。

时钟停滞时，再准的周期也未必给准年龄

在星团图里切出一小段低温范围。如果两个年龄的典型周期几乎一样，一个测得很准的周期仍能同时符合两者。年龄似然会沿着这段停滞区摊开。均值关系本来就变化很小，单靠降低测光噪声补不回这部分信息。

一个故意简化的检验能把问题显出来：只拟合蜂巢星团温度—周期曲线，再强加0.5或0.62的可分离年龄指数。NGC6811在4200至4600开尔文的27颗星，推得年龄中位数约0.709或0.702十亿年，固定参考却是十亿年。5500至6000开尔文的27颗星，则给出约1.16或1.04十亿年。换一个全局指数，消不掉这种随温度变化的错位。

非可分离标尺保留了这份灵敏度差别。模型生成检验从声明的先验和预测分布抽取400组年龄、周期，中央95%与68%区间分别包含94.75%与67.0%的生成真值。这检查的是既定条件模型的计算。真实场星仍可能偏离模型、选择条件或外部年龄尺度。

对应阅读：Curtis et al. (2019), A Temporary Epoch of Stalled Spin-Down for Low-Mass Stars: Insights from NGC6811 with Gaia and Kepler arXiv1905.06869v3 · Curtis et al. (2020), When Do Stalled Stars Resume Spinning Down? Advancing Gyrochronology with Ruprecht147, arXiv2010.02272v1

几种不确定性分别来自哪里

测量误差属于保存的光变与温度；预测周期宽度描述给定温度、年龄时的有效周期散布；重抽训练星改变拟合序列；外部年龄误差则移动星团锚点本身。这几件事需要分别检验，一条训练自助法窄带装不下所有问题。

界面提供把全部锚点整体变老或变年轻一成的情景。它按比例缩放年龄轴，没有假称每个星团都独立测得恰好一成误差。要声称绝对年龄精度，还需要单独论证外部尺度及相关性的概率模型。

NGC6811已有的自转年龄，不能当作另一个自转时钟的独立验证。食双星两个分量也共用恒星模型假设；分量年龄不合时，应比较不同解释，不能当作独立真值相乘。甚至原研究采用的NGC6811消光也曾借助自转模型细化，导入的温度尺度带着这份依赖。

对应阅读：Curtis et al. (2019), A Temporary Epoch of Stalled Spin-Down for Low-Mass Stars: Insights from NGC6811 with Gaia and Kepler arXiv1905.06869v3 · Sandquist et al. (2016), eclipsing-binary constraints on NGC6811, arXiv1608.03917v1

标尺边缘告诉我们还缺什么

如果支持区间任一端最外侧5%的年龄段积累超过15%的概率，Lab会提示标尺边缘积累。密度到了2.7十亿年还在上升，可能表示更老、但尚无标尺覆盖的年龄也合适。把2.7直接报成物理年龄上限，就越过了模型实际检验的范围。

温度靠近边缘时，误差积分同样以已有支持域为条件，保留的温度似然比例会记下来。信号太弱、图案不稳定或观测圈数太少，则在这一步之前就暂不给年龄。下一步可以补观测、扩充经过检验的标尺，或换能描述星面变化的模型，取决于缺的是哪一种信息。