从一串亮度走到几个候选周期

先算望远镜能收到多少光

把自转轴与视线的夹角记成 $i$ ，暗斑纬度记成 $\lambda$ ，相对中央经线的经度记成 $\phi$ 。暗斑朝向与视线之间的夹角，其余弦记成 $\mu$ 。只有它大于零，暗斑才在可见一侧。

\mu=\sin\lambda\cos i+\cos\lambda\sin i\cos\phi,\qquad\mu>0.

这一个投影量，同时决定看起来的面积，也说明正对自转轴时暗斑为何总以同一角度朝向我们。

一小片星面的真实面积为 $dA$ ，投影面积便是 $\mu dA$ 。设当地连续谱强度为 $I(\mu)$ ，暗斑扣去其中的比例为 $c$ ，未受扰动的整颗星流量为 $F_0$ 。暗下去的份额近似如下。Lab真正采集时，会把有大小的球面高斯暗区在可见星面上积分；这条小斑近似帮助理解极限。

\frac{\Delta F}{F_0}\simeq-\frac{cI(\mu)\mu\,dA}{F_0}.

靠近边缘时，暗斑投影面积更小，当地恒星表面也更暗。

正对自转轴时，经度从公式里消失。倾斜一点看，自转才会改变扣掉的光。暗斑还可能有一段时间完全转到背面，光变便不会是标准正弦。这也是后面要加几阶谐波的原因。

保存的观测包括时刻 $t_j$ 、相对亮度 $y_j$ 和标准误差 $\sigma_j$ 。先试一个频率 $g$ ，用常数、正弦和余弦去拟合。三个系数都线性出现，加权最小二乘就能找到最合适的系数，不必先猜振幅或起始相位。

y_j=a+b\sin(2\pi gt_j)+c\cos(2\pi gt_j)+\epsilon_j,\qquad\epsilon_j\sim\mathcal N(0,\sigma_j^2).

高斯误差模型描述观测点围绕某个试探信号散开的程度。

常见的周期图会比较这条曲线与一条水平线各自留下多少平方残差。减少的方差比例，是有用的描述性分数：哪个试探正弦最能减小眼前这些点的残差？要把分数换成假警报概率，还得规定噪声过程和整次搜索的统计分布。单靠方差比例并没有这些信息。

有限观测窗口会让周期响应展宽，缺口又会留下次峰。只取最高网格点，峰宽和其他解释就都丢了。这里的推断先细化粗网格上找到的每一个局部峰，再用正权积分计算峰内及峰间的似然。

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交互分析采用四阶谐波、亮度基线偏移和线性趋势。数据向量先减去未受扰动的单位亮度。设计矩阵 $X_g$ 装着常数列、归中心后除以观测时长的时间列，以及四对正弦、余弦。曝光长度为 $\Delta t_j$ 时，第 $k$ 阶谐波还要乘上矩形曝光的精确平均响应。

谐波的频率是基频的整数倍，四阶模型包括一至四倍；它们用来刻画一次重复内部的形状。

R_{jk}(g)=\frac{\sin(\pi kg\Delta t_j)}{\pi kg\Delta t_j},\qquad R_{jk}(0)=1.

长曝光会削弱快速变化。物理采集另用九个正权时间节点平均同一颗星面。

每个线性系数都有有限、可归一化的高斯先验。基线标准差取0.1，趋势系数取0.03，第 $k$ 阶正弦和余弦各取 $0.05/k$ 。这些是写明的观测模型选择，能影响模型对复杂波形的偏好，复算材料会保存它们。

把这些系数的对角先验协方差记成 $\Lambda$ ，保存测量误差的对角协方差记成 $D$ 。把线性系数全部积分掉，每个频率便得到一个已归一化的高斯似然。

C_g=D+X_g\Lambda X_g^{\mathsf T},\qquad \log Z(g)=-\frac12\!\left[\mathbf y^{\mathsf T}C_g^{-1}\mathbf y+\log\det C_g+N\log(2\pi)\right].

行列式项计入系数所占的有限概率体积，不能只留下最佳拟合的残差。

程序实际解十维正定正规矩阵，独立参考则直接计算完整数据协方差，两条路线互相检验。周期模型还要与带有限先验的“常数加趋势”模型比较。两者的贝叶斯因子回答的是这些模型、这些先验下谁更受支持；它与频率学派的假警报概率含义不同。

假如观测恰好发生在整数天 $n$ ，频率每天多一个整周，所有采样相位都不变。每天0.1周与每天1.1周，就是这样一对别名。

e^{2\pi i(g+q)n}=e^{2\pi ign},\qquad n,q\in\mathbb Z.

两个信号在观测间隙可以走得很不一样，整数天上的观测却一直遇到同一相位。

瞬时、精确日采样的合成检验中，每天0.1、1.1、2.1和3.1周的边缘似然只差浮点舍入。周期先验可以让这些峰附近的积分权重不同，数据在采样点上完全相同这件事仍然成立。换成不规则时刻通常能削弱这种重合，结果也未必只剩一个解。

还有“到底什么在重复”的问题。这里声明两种表面时钟假设：一圈可以对应明暗图案重复一次，也可以对应两次。重数记成 $m$ ，表面周期便是 $P=m/g$ ，两个模型的先验权重相同。推断搜索0.5至60天，比画面中四至四十天的自转控件更宽；不能靠控件范围悄悄删掉短周期日混叠。

p(P,m\mid\mathbf y)\propto Z(m/P)\,\pi(P)\,\pi_m,\qquad \pi(P)=\frac{1}{P\log(60/0.5)},\quad\pi_1=\pi_2=\frac12.

在完整周期支持域和两种假设上归一化。图上的每一箱装的是概率质量。

持久十天暗斑在这组假设下会留下十天、二十天两团很窄的解。只报一个中位数，会把中间缺少概率的空隙藏起来。分开列出各峰和权重，才看得清保存的数据允许什么。

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把周期用于年龄之前，先检查保存的数据。相对“常数加趋势”模型的证据太弱，自转信号还没有得到支持。每自由度残差卡方超过三，说明平稳谐波加给定噪声解释不了观测。如果大部分概率落在长于半个观测窗口的周期，主导的解连两圈都没看完。

这些阈值是教学模型明确采用的筛查规则。正对自转轴和短寿命暗斑会因不同的数据原因失灵。信号弱，可以争取更长或更精确的观测；图案本身变了，就需要描述时间变化的模型。怎样补下一次观测，要由实际失败的环节来决定。

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