恒星风怎样把自转拖慢

流走的气体也带走角动量

气体离开恒星表面时，本来就跟着恒星转。大尺度磁场能把部分外流气体与恒星的转动继续联系起来，作用范围伸到光球之外。这样，每单位流失质量可以带走更多角动量。

把恒星近似成一个转动整体，角动量为 $J=I\Omega$ 。 $I$ 是转动惯量， $\Omega$ 是角速度；恒星风拿走角动量时，风力矩 $\tau_{\rm w}$ 取负号。先把乘积完整求导，恒星结构变化便不会被漏掉。

\frac{d(I\Omega)}{dt}=\tau_{\rm w},\qquad \frac{d\Omega}{dt}=\frac{\tau_{\rm w}}{I}-\Omega\frac{\dot I}{I}.

力矩改变角动量；转动惯量改变时，自转也会变。

在一段有限的主序演化时期，把转动惯量固定，可以先看清风制动。强烈收缩或进入次巨星膨胀期时，这个近似就可能失效，需要把结构项一起演化。

自转越快，磁活动与风不会永远按同样比例增强。教学规律让慢转时的制动力矩随角速度三次方增长，超过饱和阈值后改为一次方。把固定转动惯量与归一化系数并进正系数 $\kappa$ 。

\dot\Omega=-\kappa\Omega\min(\Omega^2,\Omega_{\rm sat}^2),\qquad P=\frac{2\pi}{\Omega}.

在饱和角速度处，两段力矩连续相接。

角速度用弧度每天，演化时间用十亿年，弧度视为无量纲。于是 $\kappa$ 的单位是天的平方除以十亿年。交互教学曲线取 $\kappa=0.7\,\mathrm d^2/\mathrm{Gyr}$ ，饱和周期取三天。这组数用来演示机制，没有拿来拟合真实恒星。

Matt等人从磁场和恒星风的尺度关系推得类似的两段结构。研究一整群恒星时，质量、半径与对流翻转时间都很重要。原文公式6至11给出两种响应及固定惯量的极限。这里把恒星性质固定；研究真实质量序列时，需要恢复这些性质和它们的演化。

还没达到饱和角速度时，方程两边除以角速度三次方，再从初始角速度 $\Omega_0$ 积到现在。角速度的倒数平方便随时间线性增加。

\int_{\Omega_0}^{\Omega}\Omega^{-3}\,d\Omega=-\kappa t\quad\Longrightarrow\quad \Omega^{-2}=\Omega_0^{-2}+2\kappa t.

积分常数保留初始转速的记忆。

再用周期定义改写，便能和光变给出的时间节奏比较。

P^2(t)=P_0^2+8\pi^2\kappa t.

积累的制动项足够大后，初始周期项才逐渐不重要。

只有到了这个晚时极限，周期才近似随经过时间的平方根增长。两颗初始周期不同的星，要先减速足够久，才可能忘掉各自起跑时的差别。初始转速、结构演化或另一条力矩规律，都可能让普遍的平方根年龄换算失灵。

例如初始六天转一圈，按面板系数演化十亿年后，周期约为9.55天。高级区域里的风时钟会画出这条曲线。点击采用绿点快照，才会把这个转速交给新的六十天观测；这次明确的参数交接，会重新启动以天为单位的观测时钟。

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超过饱和阈值后，阈值角速度的平方是常数，方程对角速度变成线性形式，解便是指数。让角速度降到阈值，就求得跨越时刻。

\Omega(t)=\Omega_0e^{-\kappa\Omega_{\rm sat}^2t},\qquad t_s=\frac{\log(\Omega_0/\Omega_{\rm sat})}{\kappa\Omega_{\rm sat}^2}.

只有初始转得比阈值快，才需要这段跨越时间。

跨过去以后，从饱和周期出发，使用跨越后的经过时间，接上慢转解。角速度和它的一阶导数都连续。

P^2(t)=P_{\rm sat}^2+8\pi^2\kappa(t-t_s),\qquad t\geq t_s.

连续接合，演化曲线才不会凭空跳一下。

初始周期半天、饱和周期三天，仍取同一系数，约0.584十亿年后跨过阈值。到十亿年时，周期约为5.66天。它早期相当长一段时间都走在饱和支上。独立科学检验会直接数值积分微分方程，再与两段解析解对照。

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先把外力矩关掉。即使转动惯量变化，角动量仍守恒。恒星收缩，质量靠近转轴，就能转得更快。

\tau_{\rm w}=0\quad\Longrightarrow\quad I(t)\Omega(t)=I_0\Omega_0,\qquad P(t)=P_0\frac{I(t)}{I_0}.

在这个隔离例子里，惯量减半，周期也减半。

复算材料另做一次指数收缩、零力矩的检验，角动量保持到数值精度。这能澄清一个常见误会：只看到周期变化，还不能知道风拿走了多少角动量；结构项也必须知道。

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力矩练习解释了年龄为什么可能和慢转相关，星团观测则检验某条具体关系究竟好不好用。NGC6811的冷星相对简单可分离制动规律出现停滞；研究较老恒星时，星震与磁场观测又提供了新信息。这些观测会告诉我们，基础力矩图景中的哪一部分需要改变。

Lab把教学风曲线与经验年龄密度分开。一条是给定的演化机制，另一条用保存的周期和温度比较观测星团序列。两者相符当然值得研究；若共用假设，相符也不能当作两次独立年龄测量相乘。