沿着星斑少掉的光，算到速度

先把收到的光写清楚

用单位星盘上的投影坐标。观察者位于负 $z$ 方向，可见表面满足 $z<0$ ， $\mu=-z$ 表示局部视线余弦。二次临边昏暗给出安静表面的亮度。下面的系数是太阳半径教学恒星的固定示例，不是从 CoRoT-7 拟合来的。

I_q(\mu)=1-0.45(1-\mu)-0.20(1-\mu)^2,\qquad W=I_q(\mu)[1-c_s g]

正对比度对应暗区，负对比度对应亮区。每个积分都使用投影面积；若换成球面面积网格，就还得乘一次视线余弦。

活动区采用平滑球面高斯 $g=\exp[-(1-\mathbf n\cdot\mathbf n_s)/\sigma_s^2]$ ，角宽用弧度。这让局部区域随自转移动，又避免网格突然跨过硬边界；它不是一块半径清晰、内部均匀的圆斑。经纬度决定中心，直接拖动改变的也是这两个物理坐标。

对应阅读：Dumusque, Boisse & Santos — SOAP 2.0, arXiv:1409.3594v1 · IAU 2015 Resolution B3 — nominal conversion constants

先叠吸收线，再取重心

假设每块表面具有相同的对称高斯吸收线、线宽与等效宽度。局部中心包含恒星绕质心的轨道速度、自转速度和规定的活动对流红移；连续谱权重也乘到吸收缺额上。先叠加，再对整条线积分，每条对称局部线的一阶矩就等于它自己的中心。整条线的重心就成为下面的光权重平均。

v_{\rm cell}=v_\star+\Omega R_\star\sin i_\star\,x+\Delta v_c g,\qquad \overline v=\frac{\int Wv_{\rm cell}\,\mathrm dA}{\int W\,\mathrm dA}

远离为正。显示的谱线由这些相同的加权中心生成。真实互相关速度和线平分线还会受局部线形、等效宽度变化影响，不能一概等同于这个整线重心。

没有活动扰动时，正负自转的一阶矩由对称性严格抵消，重心回到恒星的开普勒轨道速度。实现中先解析去掉安静表面的奇矩，再求扰动和，避免大正数与大负数相减损失精度。谱线下方画出与安静参考之差，让小形变也看得清。

对应阅读：Dumusque, Boisse & Santos — SOAP 2.0, arXiv:1409.3594v1 · Rajpaul et al. — joint activity processes, arXiv:1506.07304v1

少掉百分之一的光，完整算一遍

先有一张对称、总光量为一的星盘。从一块向外以每秒 1000 米运动、横向位于半个恒星半径处的小区域，拿走原总光量的百分之一。暂时忽略对流和伴星。剩下光量为 0.99；原来为零的速度一阶矩少掉 10，再除以剩余光量，得到约每秒负 10.1 米。

\overline v=\frac{-0.01(1000)}{0.99}\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad \frac{X_{\rm phot}}{R_\star}=\frac{-0.01(0.5)}{0.99}

分母不能忘，因为恒星已经变暗。横向光心约为负 0.00505 个恒星半径。名义太阳半径在 20 秒差距处张角约 233 微角秒，所以偏移约为负 1.18 微角秒。

在刚体自转、只有光量变化的模型里，自转速度与横向位置成正比。减去恒星轨道之后，两种积分因此满足一个严格比例。它很适合独立检查计算，但不是通用活动校正式。

\Delta v_{\rm rot}=\Omega\sin i_\star\,X_{\rm phot,surface}

这里的位置是沿自转速度梯度的实际长度。加上活动对流位移后，即使连续谱亮度不变，这个比例也会被打破。

对应阅读：Dumusque, Boisse & Santos — SOAP 2.0, arXiv:1409.3594v1 · IAU 2015 Resolution B3 — nominal conversion constants

数值表面能说明到哪一步

浏览器在平滑的可见半球坐标上做高斯积分。普通预设每个方向用 48 阶节点，角宽缩到两度时提高为 129 阶。独立参考改用极坐标面积积分，并独立求解偏近点角。35 个预设与极限时刻中，自适应网格的最大重心差为每秒 0.0000161 米，光心差约 0.000000501 微角秒。这是有限参考之间的数值差异，不是对真实恒星的精度承诺。

固定 48 阶在最窄区域处会差每秒 0.175 米，这次分辨率失败保留在结果里。显示谱线用每秒 80 米的速度分箱与保一阶矩的线性分配；分箱宽度不等于仪器速度精度。采样谱线与连续重心满足保存的数值容差。

模型省略差分自转、多区演化、米粒组织、随临边变化的对流、谱型变化和遮掩。活动面积没有钙线标定，高斯等效线宽也不是论文中 HARPS 拟合的半高全宽。这里计算的是一个可控机制，并没有还原实测恒星的真实表面。

check-surface.ts 实际生成的合成记录：名义太阳半径与引力参数、距离20秒差距，取自转相位0.9弧度。完整设置和每种情形121个采样时刻见 default-results.json；不是HARPS观测。
情形	对比度	对流位移 · 米每秒	名义地球质量	重心 · 米每秒	光量与安静之比
星斑与行星	$0.7$	$100$	$25$	$-18.3$	$0.982$
安静轨道	$0$	$0$	$90$	$15.7$	$1$
只有星斑	$0.7$	$0$	$0$	$-24.3$	$0.982$
明亮磁活动区	$-0.08$	$400$	$0$	$34.4$	$1.01$
正面看	$0.7$	$100$	$100$	$1.37$	$0.985$

对应阅读：Dumusque, Boisse & Santos — SOAP 2.0, arXiv:1409.3594v1 · Rajpaul et al. — joint activity processes, arXiv:1506.07304v1

沿着星斑少掉的光，算到速度

先把收到的光写清楚

先叠吸收线，再取重心

少掉百分之一的光，完整算一遍

数值表面能说明到哪一步

练习与解释性答案

动手检验预测

检查同一组权重

来源与计算范围