M073 · 轨道观测 / 反演

双星质量测量实验室

不知道观察倾角，也能从运动称出恒星质量吗？ 只能称出一部分。两颗星的视向速度能给出质量比，以及一个投影质量；倾角未知，它只是下限。要得到真正的总质量，必须知道倾角；从星在天空中的移动定质量，还得知道距离。数据拟合得再好，也说明不了这些假设对不对。

从天空轨迹和两颗星的径向速度两方面观察一对开普勒双星。拖动观察倾角，采集可以复现的带噪记录，拟合振幅；再比较投影质量、倾角修正后的质量，以及依赖距离的天体测量结果。

记录时间 $\text{Pending}$

真实周期 $\text{Pending}$

采用周期 $\text{Pending}$

主星拟合振幅 $\text{Pending}$

伴星拟合振幅 $\text{Pending}$

主星振幅标准误 $\text{Pending}$

拟合系统速度 $\text{Pending}$

伴星与主星质量比 $\text{Pending}$

光谱投影质量 $\text{Pending}$

倾角修正质量 $\text{Pending}$

真实总质量 $\text{Pending}$

天体测量总质量 $\text{Pending}$

拟合角半长轴 $\text{Pending}$

速度残差均方根 $\text{Pending}$

天空残差均方根 $\text{Pending}$

拟合解释 $\text{Pending}$

采样能量误差 $\text{Pending}$

采样角动量误差 $\text{Pending}$

测量轨道，再自己设计一条

不知道观察倾角，也能从运动称出恒星质量吗？

主星质量

M_1

1.40\,M_\odot

伴星质量

M_2

0.70\,M_\odot

相对半长轴

a

1.80\,AU

偏心率

e

0.35\,

真实观察倾角

i

60.00\,{}^\circ

近拱点方向

\omega

35.00\,{}^\circ

采用倾角

i_{\rm fit}

60.00\,{}^\circ

采用周期比例

P_{\rm fit}/P

100.00\,\%

真实距离

d

20.00\,pc

采用距离比例

d_{\rm fit}/d

100.00\,\%

速度噪声标准差

\sigma_v

0.00\,km/s

天空噪声标准差

\sigma_\theta

0.00\,mas

回放时间

t/t_{\rm obs}

0.00\,\%

橙色圆环设定真实观察倾角，对应的滑块可以用键盘调。分析时用的是另外设定的采用倾角。每种设置会在一个半真实周期内生成 48 组成对观测。回放只是逐步展示这份固定记录，拟合用到全部采样。点“新观测记录”会换一个高斯噪声种子。天空噪声加在两星的相对位置上，它们在天空中的方向视为已知。

模型是孤立牛顿双星中的两个质点，单位用天文单位、儒略年和太阳质量，引力常数取教学值。不模拟食、光谱、光行时和相对论效应。拟合时，偏心率、近拱点方向和历元当作已从别处得知；周期、观察倾角和距离用明确给出的采用值。由残差得到的振幅标准误是条件误差，不是完整的质量不确定度。

先抓重点

核心问题: 哪些观测能确定质量？还剩下哪些假设？
一句话直觉: 两条速度曲线一起拟合，可以测出振幅和质量比；总质量还要知道观察几何，角运动还要知道距离。残差再干净，也证实不了这些外部假设。

核心数学模型

两个天体，一条相对轨道

\mathbf r_1=-\frac{M_2}{M_1+M_2}\mathbf r,\qquad\mathbf r_2=\frac{M_1}{M_1+M_2}\mathbf r

较重的恒星绕质心的轨道更小；画出的相对轨道是两星之间的分离矢量。

周期与总质量

P^2=\frac{4\pi^2a^3}{G(M_1+M_2)}

在天文单位、年和太阳质量这套教学单位里，引力常数等于四倍圆周率的平方；半长轴指相对轨道的半长轴。

天空投影运动

X=x\cos\omega-y\sin\omega,\quad Y=(x\sin\omega+y\cos\omega)\cos i,\quad Z=(x\sin\omega+y\cos\omega)\sin i

轨道倾斜后，一个天空坐标被压缩，同时出现视向速度；角距离还取决于距离。

双线速度拟合

v_1=\gamma-K_1[\cos(\nu+\omega)+e\cos\omega],\quad v_2=\gamma+K_2[\cos(\nu+\omega)+e\cos\omega]

线性回归拟合共同的系统速度和两个振幅。轨道形状和相位取自独立的信息；采用的周期如果有偏差，拟合用的基函数也会跟着变。

光谱真正确定的量

\frac{M_2}{M_1}=\frac{K_1}{K_2},\qquad (M_1+M_2)\sin^3i=\frac{P(K_1+K_2)^3(1-e^2)^{3/2}}{2\pi G}

不知道观察倾角，投影质量只是下限，不是真实质量。接近正面观察时，径向信号趋于零；本实验要求两个振幅都超过三个条件标准误。

距离以三次方进入

a_{\rm fit}=\theta_{a,\rm fit}d_{\rm fit},\quad M_{\rm ast}=\frac{4\pi^2a_{\rm fit}^3}{GP_{\rm fit}^2},\quad M_{\rm RV}=\frac{M_{\rm proj}}{\sin^3i_{\rm fit}}

拟合角半长轴时，假设采用的投影几何是对的。即使角残差很小，距离偏了多少倍，天体测量质量就偏这个倍数的三次方。

常见难点

投影不是质量

容易误解拟合出的速度振幅本身就能确定质量。

正确理解径向速度给出的是质量乘以倾角正弦的三次方，要把所有符合的质量一起考虑。

信号为零，看不出质量

容易误解正面观察没有信号，说明恒星没有质量或不在运动。

正确理解轨道在天空上依然存在；两个径向信号一起消失，质量比无法确定。

残差好，不能验证假设

容易误解残差很小，就证明采用的距离和倾角是对的。

正确理解不同的物理质量和观察几何，可以给出同样的速度记录；距离是角拟合之外的信息。

标准误是有条件的

容易误解振幅的标准误就是完整的质量误差。

正确理解它没有包括周期、轨道形状、相位、距离和倾角的不确定性；接近正面时，反演很难确定。

动手实验

01
恢复无噪双星
选择“恢复质量”，点“采集完整记录”，把两种质量估计和真值比较。
你会看到： 振幅给出质量比；采用的倾角正确，总质量也就恢复了。
02
分开观察和分析
拖动观察环，再把采用倾角调到同一个值。
你会看到： 投影质量随观察角改变；只有采用的角度正确，修正后的质量才一致。
03
诊断错误周期
比较“周期错误”和“带噪观测记录”，再点“新观测记录”。
你会看到： 周期偏差会在残差里留下有规律的结构；带种子的高斯误差则在条件拟合周围随机起伏。
04
质疑干净的结果
选择“采用距离错误”，再选“正面观察的弱信号”。
你会看到： 角拟合很干净，质量也可能有偏差；接近正面时，天空上明明看得见轨道运动，光谱却分辨不出质量。