平直环面宇宙与匹配圆

一个平直的宇宙，仍然可能是有限的吗？ 可以。平直说的是局部的几何，平直空间也能像电子游戏画面那样首尾相接、大小有限。假如这样的盒子比可观测宇宙小，微波背景天空就会沿成对的圆重复同一套图样。Planck 没有找到这种圆，所以盒子即使存在，也至少和可观测宇宙差不多大。

拖动平直周期盒的大小，看同一片天空斑点怎样成对重现为匹配圆，再和偶然的相似对照。

盒子边长 $1.2\,\chi_{\mathrm{rec}}$

匹配圆对数 $9$

最大圆的角半径 $53.1^\circ$

盒轴圆对的匹配度与偶然水平 $0.95\ \mathrm{vs}\ 0.56$

这片合成的教学天空只用一种空间：平直的立方三维环面，盒子边长为 L，单位是到最后散射面的共动距离。带 Gaussian 平滑谱的随机场在每边64格的网格上严格周期，再在一层很薄的最后散射球面上读出。可选的白噪声在每个一度天区独立。模型不含曲率和其他紧致空间，不含积分 Sachs-Wolfe 项、多普勒项和最后散射层的厚度，也没有遮罩、前景和波束，更没有使用 Planck 或 WMAP 天图。偶然水平是这一片天空里无关轴上出现的最大匹配度，不是经过校准的误报概率。这个盒子只是教学例子，不是测得的宇宙真实形状。

沿着圆读同一片天空

合成天空，不是 Planck 天图

全天图与预言的圆

沿每个圆的温度

圆对搜索与偶然水平

圆和匹配度怎样计算

\cos\alpha=\frac{|\mathbf g|}{2\chi_{\mathrm{rec}}},\qquad S(\phi_*)=\frac{2\langle T_A(\psi)\,T_B(\psi+\phi_*)\rangle}{\langle T_A^2+T_B^2\rangle}

每个短于两倍最后散射距离的格点平移给出一对圆。搜索在96条均匀分布的轴和短格点轴上比较背对背的圆，并尝试所有旋转角。灰色偶然水平只用离所有副本轴八度以上的盲选轴。

Cornish、Spergel 与 Starkman（1998），天空中的圆 · Planck 2015 结果 XVIII：背景几何与拓扑

继续学习：空间的整体形状

一句话直觉: 只要观察者的某个副本离我们不到最后散射距离的两倍，天空上就会出现一对温度完全相同的圆。盒子比这更大时，圆对消失，单凭天空分不出它与无限平直空间。

核心数学模型

观察者的副本

\mathbf x\sim\mathbf x+L\mathbf n,\qquad \mathbf n\in\mathbb Z^3,\qquad \mathbf g=L\mathbf n

相差整数个盒子边长的点是同一个点。在覆盖空间里，每个格点上都有观察者的一个副本。距离一律以到最后散射面的共动距离为单位。

两个球面在哪里相交

\cos\alpha=\frac{|\mathbf g|}{2\chi_{\mathrm{rec}}},\qquad |\mathbf g|<2\chi_{\mathrm{rec}}

我们的最后散射球面和邻近副本的球面交于一个圆。我们会看到它两次：一次围绕那个副本的方向，一次围绕相反方向，两次的角半径相同。

比较两个圆

S(\phi_*)=\frac{2\langle T_A(\psi)\,T_B(\psi+\phi_*)\rangle}{\langle T_A^2+T_B^2\rangle}

两个圆完全相同时这个统计量等于一，毫不相关时在零附近起伏。在许多旋转角和轴里取最大值，也会让它偶然变高，所以真正的匹配必须超过同一片天空里的偶然水平。

常见难点

平直不等于无限

容易误解空间是平直的，就一定无限延伸。

正确理解曲率是在局部测量的。平直三维环面处处曲率为零，体积却有限。局部测量分不出两者，只有绕空间走过一圈的光才能分辨。

动手实验

01
找到重复的斑点
保持默认盒子，看两条光子路径。先不看数据区，预测边长1.2的盒子会产生多少对圆。
你会看到： 同一个斑点的光从两个方向到达你。最近的六个副本给出三对53.1度的圆，十二个对角副本给出六对31.9度的圆。
02
把盒子拉过极限
把盒子角点向外拖。先预测最后一对圆在边长多大时消失，再到扫描图里检验。
你会看到： 边长达到两倍最后散射距离时，圆缩成一点并消失。此后，找到的最佳匹配在所有半径上都和偶然水平重合。
03
加入噪声
选择“噪声淹没匹配”。比较盒轴圆对的匹配度与偶然水平，再保存记录。
你会看到： 噪声与信号一样强时，匹配度大约降到一半。圆对在物理上仍然存在，但在这片天空里已经不再高出偶然水平。

平直环面宇宙与匹配圆

沿着圆读同一片天空

全天图与预言的圆

沿每个圆的温度

圆对搜索与偶然水平