三维环面怎样让平直空间变得有限

需要的准备：三维坐标、距离公式，以及把向量看成可以相加的箭头。第一篇文章不用方程讲了整体图像。

先看边缘相接的正方形

在平面上取边长为 $L$ 的正方形，坐标 $x$ 、 $y$ 都从 $0$ 走到 $L$ 。规定右边就是左边，上边就是下边。写成符号：点 $(x, y)$ 、 $(x + L, y)$ 和 $(x, y + L)$ 是同一个点。一个人越过直线 $x = L$ ，就在 $x = 0$ 处重新出现， $y$ 不变，前进方向也不变。

这里没有任何东西被弯曲。在任何一小块区域里量三角形，内角和都是 180 度，平行线也一直平行。变了的是整体连接方式：沿 $x$ 方向直走一段距离 $L$ ，就回到起点。

手里的甜甜圈表面也是环面，但它是弯的：外圈比内圈长。平直环面只由粘合规则定义，不需要把纸弯起来。

搬到三维

现在取边长为 $L$ 的立方体，坐标 $\mathbf{x} = (x, y, z)$ 。粘合规则是：对任意由整数组成的向量 $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)$ ， $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{x} + L\mathbf{n}$ 是同一点：

\mathbf{x} \sim \mathbf{x} + L\mathbf{n}, \qquad \mathbf{n} \in \mathbb{Z}^3 .

这就是三维环面，体积为 $L^3$ 。一束光从 $x = L$ 的面出去，从 $x = 0$ 的面进来，方向不变，所以直线仍是直线。

同一个空间还有第二种画法，后面整门课都用它。用完全相同的立方体把普通空间铺满，像一面无限延伸的砖墙。立方体里的每个物体在每块砖里都有一个像，位置是 $\mathbf{x} + L\mathbf{n}$ 。这种铺满的图像叫覆盖空间。这些像就是同一个物体，只是沿着绕过盒子的不同直线路径被看到。

选立方体只是为了方便。同一个空间也可以切成别的形状的砖块，所以立方体只是记账用的选择。物理内容都在粘合规则里，它规定哪些点是同一点。

会绕回来的空间里怎样量距离

三维环面里两点之间有很多条直线路径，第二个点的每个像对应一条。距离取最短的那条：

d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \min_{\mathbf{n} \in \mathbb{Z}^3} \left| \mathbf{x} - \mathbf{y} - L\mathbf{n} \right| .

例题。取 $L = 1.2$ ， $\mathbf{x} = (0.1, 0, 0)$ ， $\mathbf{y} = (1.1, 0, 0)$ 。直接走的路径长 $1.0$ ；穿过侧面的路径对应 $\mathbf{n} = (-1, 0, 0)$ ，差为 $0.1 - 1.1 + 1.2 = 0.2$ 。两点相距 $0.2$ ，尽管坐标差了 $1.0$ 。在会绕回来的空间里，单看坐标说明不了两样东西离得多近。

局部测量为什么看不出绕回

边长远小于 $L$ 的三角形整个落在一块砖里，内角和是 180 度，和无限平直空间里完全一样。在三维环面和无限平直空间里做任何局部的曲率测量，答案都相同。要分辨两者，需要一条长到能绕一圈的路径，问题因此变成：我们能看到的最远的光，能不能绕过去。

联系邻近两点的规则叫度规，两种空间里它一样；联系遥远区域的规则叫拓扑，两种空间里它不同。广义相对论把物质和局部曲率联系起来，所以它定下了前者，后者仍然敞开。

观测者的副本

把观测者放在原点。粘合规则在格点上造出它的像：

\mathbf{g} = L\mathbf{n}, \qquad |\mathbf{g}| = L\sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2} .

按 $n^2 = n_x^2 + n_y^2 + n_z^2$ 把像分成壳层。第一壳层 $n^2 = 1$ 有 6 个像，隔着立方体的面；第二壳层 $n^2 = 2$ 有 12 个，隔着棱；第三壳层 $n^2 = 3$ 有 8 个，隔着顶点。

例题。 $L = 1.2$ 时，哪些像离原点不到 2 个单位？第一壳层在 $1.2$ ，第二壳层在 $1.2\sqrt{2} \approx 1.70$ ，第三壳层在 $1.2\sqrt{3} \approx 2.08$ 。前两层符合，共 $6 + 12 = 18$ 个像。它们组成 9 对 $\pm\mathbf{g}$ ，因为一侧的像在对侧总有一个伙伴。下一章会说明 2 这个数为什么要紧：以最远可见光的距离为单位，离我们不到 2 的像，正是会在天空上画出圆的那些。

实验任务

先预测 $L = 0.8$ 时有多少个像离原点不到 2 个单位。数到 $n^2 = 6$ 为止。
在实验里把盒子边长设为 $0.8$ ，读出匹配圆的对数。
把盒子角从 $1.2$ 慢慢拖到 $1.5$ ，看哪一圈副本最先离开可及范围。
解释为什么边长从 $1.2$ 变到 $1.5$ 时，读数从 9 对降到 3 对。

练习

在边长 $L = 1$ 的二维平直环面里，求 $(0.05, 0.9)$ 与 $(0.95, 0.1)$ 的距离。
$n^2 = 4$ 的像有几个？离原点多远？
在边长 $L = 1$ 的三维环面里画一个边长 $0.01$ 的三角形，内角和是多少？
为什么 $L = 2.2$ 时没有离原点不到 2 个单位的像？

答案

用第一个点减第二个点，取 $\mathbf{n} = (-1, 1)$ ：两个分量变成 $0.05 - 0.95 + 1 = 0.1$ 和 $0.9 - 0.1 - 1 = -0.2$ 。距离是 $\sqrt{0.1^2 + 0.2^2} \approx 0.22$ ，远比直接相连的 $\sqrt{0.9^2 + 0.8^2} \approx 1.20$ 短。
$n^2 = 4$ 要求一个分量为 $\pm 2$ 、其余为零，所以有 6 个像，距离 $2L$ 。
180 度。三角形落在一块砖里，那里的几何是欧几里得几何。
最近的像是第一壳层，距离 $L = 2.2$ ，已经超过 2；其他壳层更远。

关于 $L = 0.8$ 的任务：壳层 $n^2 = 1$ 到 $6$ 分别在 $0.8$ 、 $1.13$ 、 $1.39$ 、 $1.6$ 、 $1.79$ 和 $1.96$ ，都小于 2。它们共有 $6 + 12 + 8 + 6 + 24 + 24 = 80$ 个像，组成 40 对。

来源：Cornish 等 2004，局部几何与拓扑，COMPACT 合作组预印本第 2 节：副本、砖块与基本域，Cornish、Spergel 与 Starkman 1998。

把盒子边长设为 1.2，数一数截面里有几个副本的球面和你的相交。