怎样读 Planck 的宇宙拓扑限制

下面每个说法都带四种标签之一。已发表结果：写在经过审稿的 Planck 论文或 2004 年的 WMAP 快报里。预印本结果：写在 COMPACT 论文第 4 版里。模型预言：由立方三维环面的几何推出，推导见本课程前几章。未解决问题：还没有人定论的事。

第 4.2 节：搜索算的是什么

Planck 用的是 Cornish、Spergel 和 Starkman 的圆统计量，采用 Cornish 等人 2004 年针对小尺度结构优化的形式：每个圆先做傅里叶变换，再给各个模式加权，让细小结构比大尺度起伏占更大分量。完全匹配时统计量仍等于 1，无关圆的平均值仍是 0。

论文算了两种版本。带加号的统计量按同一顺序比较两个圆上的点，叫同相；带减号的把其中一个圆的顺序反过来，叫反相。论文指出可定向的拓扑给出反相匹配，所以对立方环面要看带减号的曲线。

搜索只针对背对背圆对，即圆心位于天空相对两点的圆对。立方三维环面的圆对全是背对背的，正好覆盖。门槛来自 300 个 SMICA 天图的蒙特卡罗模拟，处理方式与数据相同，定在模拟中出现假事件的比例低于 1%。温度和偏振分别标定。标签：已发表结果。

常见的误读是把后面图里的点线门槛当成理论曲线。它其实是从那 300 片没有拓扑的模拟天空里得到的经验水平。

第 4.4.1 节和图 6：最小的圆

图 6 画的是一张模拟偏振图上反相统计量随圆半径的变化，模拟宇宙是边长 $2H_0^{-1}$ 的立方三维环面，噪声与 SMICA 天图相当。粗曲线在真圆对的半径处升起峰值，点线仍是误报水平。

预期的峰值降到点线以下的地方，就是搜索能找到的最小圆。Planck 把 18 度处峰的高度向更小半径外推，得到最小半径在 10 度到约 15 度之间；为保守起见，取 $\alpha_{\min} \simeq 15^\circ$ 。标签：已发表结果。

要避免的误读是把图 6 的峰当作拓扑的证据。它们是人为放进模拟宇宙的信号，那个宇宙本来就被造成了环面。

图 11 和图 12：数据

图 11 是温度图，图 12 是 E 模偏振图。每张图上半部分画反相统计量，下半部分画同相统计量，横轴是 0 到 90 度的圆半径。四条曲线对应 Planck 的四种成分分离方法：Commander、NILC、SEVEM 和 SMICA。点线是 1% 误报水平。

在大于 $\alpha_{\min}$ 的任何半径上，没有一条曲线升过点线。没有，就是结果。唯一的峰在 90 度，图注给了解释：以某点为圆心、半径 90 度的圆，和以对径点为圆心的圆是同一个大圆，它自己和自己匹配。这是搜索方式本身的性质，与信号无关。

遮挡之后，偏振用了 40% 的天空，温度用了 74%。Planck 指出，偏振给出的限制仍至少和温度一样强。标签：已发表结果。

第 5.1.1 节：从角度到盒子大小

几何那一章说明，立方环面最大的圆来自最近的六个像，满足 $\cos\alpha = L/2\chi_{\mathrm{rec}}$ 。如果不存在大于 $\alpha_{\min}$ 的圆，就有

R_i = \frac{L}{2} \gtrsim \chi_{\mathrm{rec}}\cos\alpha_{\min} = 0.97\,\chi_{\mathrm{rec}} .

$R_i$ 是基本域里能放下的最大球的半径，对立方体就是边长的一半。Planck 在 99% 置信水平上给出这个结果，并用 $\chi_{\mathrm{rec}} \simeq 3.1\,H_0^{-1}$ 写成 $L \gtrsim 6.0\,H_0^{-1}$ 。

自己算一遍： $\cos 15^\circ = 0.966$ ，所以 $L \gtrsim 1.93\,\chi_{\mathrm{rec}}$ ，而 $1.93 \times 3.1 \approx 6.0$ 。此前对 2013 年温度图的分析给出 $0.94\,\chi_{\mathrm{rec}}$ 。标签：模型预言加已发表结果，换算用的是立方几何，角度来自论文。

这个下限带着论文写明的前提：基本域相对遮挡区的取向要允许圆被探测到。它适用于预言背对背圆的拓扑，而且宇宙除拓扑外符合标准宇宙学模型、空间平直。

第 5.1.2 节：另一种独立的方法

第 5.1.2 节直接用环面会留下的关联图样，去拟合大角尺度的温度和偏振图。对立方环面，边缘化似然要求 $L > 6H_0^{-1}$ ，同样是 $R_i > 0.97\,\chi_{\mathrm{rec}}$ ；剖面似然给出较弱的 $R_i > 0.79\,\chi_{\mathrm{rec}}$ 。对平板空间，也就是只在一个方向上首尾相接的空间，下限是 $L > 3.5H_0^{-1}$ ，即 $R_i > 0.56\,\chi_{\mathrm{rec}}$ 。摘要说明这些限制取的是相对最佳拟合单连通平直模型、对数似然比为 $-5$ 的位置。标签：已发表结果。

两种方法用的信息不同，一个看中等角尺度上的圆，一个看最大尺度上的关联，却对立方体得到同一个数。摘要称二者在数值上等价。

COMPACT 预印本补充了什么

COMPACT 合作组的论文 arXiv:2211.02603v4，版本日期 2024 年 11 月 27 日，从 WMAP 和 Planck 没有找到圆这一结果出发。它把这些搜索概括为：从我们所在位置出发、绕宇宙一圈回到原处的路线（下面称环路），都不短于最后散射球直径的 98.5%。论文脚注 6 把条件说得更精确：对不超过这一数值的副本间距，搜索都没有在 99.7% 或 95% 置信水平上发现匹配圆对的超出。标签：预印本结果，建立在已发表的搜索之上。

对立方盒子，直径的 98.5% 对应半径为 $\arccos 0.985 \approx 9.9^\circ$ 的圆。这接近 Planck 所估 $\alpha_{\min}$ 范围的下端。这笔算术是我们自己做的。我们没有打开 COMPACT 引用的那些早期搜索，所以不判断这个数具体出自哪一项。

接着是论文的主要论点。在普通环面里，每个观测者看到的都一样，所以限制了经过我们的最短环路，也就限制了盒子。在面与面带旋转粘合的空间里，最短环路的长度随所在位置而变。整个空间里最短的那条环路可以绕开我们；论文发现，它可以比最后散射球的直径短两倍到至少六倍，仍不与圆搜索的结果冲突。标签：预印本结果。

论文还提醒，立方体或任何其他基本域都不应被当作宇宙的形状，物理内容在于哪些点被视为同一点。它提出用球谐系数之间的非对角关联，去检验圆搜索够不着的那些流形。标签：未解决问题。

这些限制留下的问题

还有三件事没有定论。宇宙究竟是不是有限的，没有答案：比可见球面大的盒子不会产生圆。带旋转的平直空间如果有一条比可见直径短的环路，能否躲过圆搜索，COMPACT 的分析认为可以；我们读到的是它的 arXiv 预印本，没有核查期刊发表情况。其他统计量能否越过圆搜索的极限，研究者还在探索。

读下一篇拓扑论文时的清单

找出搜索覆盖哪些拓扑，比如是否只搜背对背圆。
记下统计量的方向约定，以及所检验的拓扑预言哪一种。
读清误报水平怎样定：模拟次数、模拟里包含什么、允许多大比例。
找到能探测的最小圆，以及它是怎样估计的。
用文中给出的最后散射距离，重做从角度到长度的换算。
把对经过我们的最短环路的限制，和对空间里每条环路的限制分开。
记录每个来源的版本，以及它是否经过审稿。

来源：Planck 2015 结果第十八篇，arXiv:1502.01593v2，COMPACT 合作组，宇宙拓扑第一部分，arXiv:2211.02603v4，Cornish、Spergel 与 Starkman 1998，arXiv:astro-ph/9801212v1，Cornish 等 2004，物理评论快报第 92 卷 201302，arXiv:astro-ph/0310233v1。

打开接近极限的预设，把 15 度的圆和 Planck 的门槛对照。