怎样分辨真正的匹配圆与碰巧的相似

需要先读上一章的圆几何，并知道平均值、方差和高斯分布是什么。

圆比较统计量

沿每个圆等间隔取 $N$ 个点读温度，第一个圆记为 $a_i$ ，第二个圆记为 $b_i$ ， $i = 0, \ldots, N-1$ 。温度都从全天平均值算起。我们不知道匹配点从哪里开始，所以把第二个圆转过 $s$ 个采样点再比较：

S(s) = \frac{2\sum_i a_i\, b_{i+s}}{\sum_i \left(a_i^2 + b_{i+s}^2\right)} .

下标绕圆循环。这就是 Cornish、Spergel 和 Starkman 的统计量。由 $2ab \le a^2 + b^2$ ，也就是把 $(a-b)^2 \ge 0$ 展开，可得三条性质：

只有对每个 $i$ 都有 $b_{i+s} = a_i$ 时 $S = 1$ ，完全匹配。
只有 $b_{i+s} = -a_i$ 时 $S = -1$ ，完全反向。
其他任何一对圆的分数都在两者之间。

一次搜索对每个转角、每对圆心、每个试过的半径都算一遍 $S$ ，留下最大值。要判断的正是这个最大值。

无关的圆会散布多宽

假设这 $2N$ 个温度是互相独立、方差都为 $\sigma^2$ 的高斯数，这是两个毫无关系的圆最简单的模型。固定 $s = 0$ ，引入

u_i = \frac{a_i + b_i}{\sqrt{2}}, \qquad v_i = \frac{a_i - b_i}{\sqrt{2}} .

这是在 $a_i$ 、 $b_i$ 平面里转 45 度，所以 $u_i$ 、 $v_i$ 仍是相互独立、方差为 $\sigma^2$ 的高斯数。换成新变量后 $a_i^2 + b_i^2 = u_i^2 + v_i^2$ ， $2a_ib_i = u_i^2 - v_i^2$ 。记 $U = \sum_i u_i^2$ ， $V = \sum_i v_i^2$ ，

S = \frac{U - V}{U + V} = 2X - 1, \qquad X = \frac{U}{U + V} .

$U/\sigma^2$ 和 $V/\sigma^2$ 是相互独立、各有 $N$ 个自由度的卡方变量。于是 $X$ 服从两个参数都是 $N/2$ 的贝塔分布，方差为 $1/[4(N+1)]$ 。于是

\langle S \rangle = 0, \qquad \operatorname{Var}(S) = \frac{1}{N+1} .

把变量从 $X$ 换成 $S$ ，贝塔密度 $X^{N/2-1}(1-X)^{N/2-1}$ 就变成正比于 $(1-S^2)^{(N-2)/2}$ 的密度，正是 1998 年论文的第 6 式。

例题。 $N = 64$ 时标准差为 $1/\sqrt{65} \approx 0.124$ 。分数 $0.37$ 偏离三个标准差，单独一对无关圆很少能达到。

真实的零假设分布为什么更宽

上面的推导把每个采样点当作独立的。真实天空上，相邻的点落在同一个冷斑或热斑里，采样是相关的。Cornish、Spergel 和 Starkman 指出，相关会让分布中心偏向更大的 $S$ ，并让分布变宽。一个粗略的理解是有效采样数：公式照用，只是把 $N$ 换成圆上独立斑点的个数。

1998 年的论文还估计了一个圆能提供多少独立点：角分辨率为 $\Delta\theta$ 的天图大约给出 $N \simeq 2\pi\sin\alpha/\Delta\theta$ 个。小圆的独立点少，零假设分布更宽；半径小到一定程度，真匹配就再也分不出来。这个半径就是 Planck 分析里的 $\alpha_{\min}$ 。

教程保存过一次运行：盒子边长为 $1.2$ ，噪声是信号的一半，300 对无关背对背圆各取 64 点。固定转角时，它们分数的标准差是 $0.197$ ，比独立采样给出的 $0.124$ 宽得多。按有效采样数来理解，相当于大约 $1/0.197^2 - 1 \approx 25$ 个独立点。

噪声怎样压低真匹配

现在让两个圆是一对真匹配。每个圆带着同样的信号 $t_i$ ，再加上各自独立的探测器噪声： $a_i = t_i + n_i$ ， $b_i = t_i + m_i$ ，信号方差 $\sigma_s^2$ ，噪声方差 $\sigma_n^2$ 。 $N$ 很大时，分子和分母都趋于平均值：

\left\langle 2\sum_i a_i b_i \right\rangle = 2N\sigma_s^2, \qquad \left\langle \sum_i (a_i^2 + b_i^2) \right\rangle = 2N(\sigma_s^2 + \sigma_n^2) .

信号与噪声独立，交叉项为零。两者之比是

S_{\mathrm{match}} \approx \frac{\xi^2}{1 + \xi^2}, \qquad \xi = \frac{\sigma_s}{\sigma_n},

即 1998 年论文的第 5 式。信号与噪声一样大时 $S \approx 0.5$ ；噪声只有信号的五分之一时是 $0.96$ 。

例题。教程里 $\sigma_n/\sigma_s = 0.5$ 的运行预言 $S \approx 0.8$ ，九对真圆在正确转角下平均 $0.795$ 。 $\sigma_n/\sigma_s = 2$ 时预言 $0.2$ ，九对平均 $0.200$ 。

用假圆对定门槛

盲搜索不知道正确的转角、圆心和半径，只能报告所有尝试里的最高分。这样一来，无关的圆也显得不错。教程里噪声为信号一半的那次运行，300 对无关圆各取最佳转角，平均分是 $0.36$ ，其中 1% 超过 $0.674$ 。实验里的灰带也是这个效应：在每个半径上，它是一批无关轴里的最高分，默认天空上共有 86 条这样的轴。

公平的门槛只有一个来源：在分辨率、噪声和遮挡都和真实天图相同、但没有拓扑的模拟天空上，跑完整套搜索。Planck 正是这样做的：用与数据相同的方式处理 300 个蒙特卡罗模拟天图，把误报水平定在模拟中出现假事件的比例低于 1%。

拿同一次运行的九对真圆和这个门槛比较：它们的最高分在 $0.69$ 到 $0.88$ 之间，全部高于 $0.674$ 。噪声加到信号的两倍时，真圆对降到 $0.27$ 到 $0.51$ ，而 1% 的假匹配水平是 $0.43$ ，九对里只有一对越过。

微波天空本身也给这项检验添了噪声。温度图并不只记录最后散射时的气体密度。气体速度会留下一份贡献，光沿途穿过随时间变化的引力势，也会留下一份。这些成分在通往同一点的两条路径上各不相同，COMPACT 预印本把它们算作圆信号的噪声。Planck 也搜索了偏振图，偏振主要产生在最后散射那一刻。

实验任务

先用上面的公式预测噪声比为 1 时盒轴圆对的分数。
把噪声比设为 1，读出盒轴圆对的匹配度；再分别设为 0.5 和 1.5。
找出盒轴分数沉进灰色偶然水平带时的噪声比。
解释为什么圆上温度曲线里那对无关圆的分数仍然高于零。

练习

证明对任意两个圆都有 $|S| \le 1$ 。
$N = 256$ 时，独立无关圆的 $S$ 标准差是多少？
某探测器的噪声是信号的 $0.3$ 倍，一对真圆应当得到多少分？
一次搜索试了 1000 对相互独立的圆，每对的零假设标准差都是 $0.124$ 。如果零假设分布是高斯的，单靠偶然能得到的最高分大约多大？

答案

每一项都满足 $2a_ib_{i+s} \le a_i^2 + b_{i+s}^2$ 和 $-2a_ib_{i+s} \le a_i^2 + b_{i+s}^2$ ，求和得 $|2\sum a_i b_{i+s}| \le \sum (a_i^2 + b_{i+s}^2)$ 。
$1/\sqrt{257} \approx 0.062$ 。
$\xi = 1/0.3 \approx 3.33$ ，所以 $\xi^2/(1+\xi^2) = 11.1/12.1 \approx 0.92$ 。
1000 个高斯数里的最大值通常比平均值高约 3.2 个标准差，也就是约 $0.40$ 。按单对圆设的门槛会被偶然越过。

第一个任务： $\xi = 1$ 给出 $0.5$ 。单独一对圆会在这个值附近散布，因为一个圆上的信号方差和全天平均不同；默认天空上实验读数约为 $0.41$ 。

来源：Cornish、Spergel 与 Starkman 1998，第 4 至 6 式与有效采样数，Planck 2015 结果第十八篇第 4.2 节：由 300 个模拟定门槛，Cornish 等 2004 第 1 式：按 m 加权的傅里叶比较，COMPACT 合作组预印本：多普勒与 ISW 噪声。

调高噪声，直到真圆对沉进随机水平的灰带。