宇宙太小，天空为什么会出现成对的圆

本章接着三维环面那一章：观测者的像位于 $\mathbf{g} = L\mathbf{n}$ 。

我们看到的那个球面

宇宙微波背景的光，是早期宇宙的热气体变透明时发出的。这些光走过的共动距离都相同。共动距离是在随宇宙一起膨胀的网格上量的距离，膨胀不会改变它。把这个距离记为 $\chi_{\mathrm{rec}}$ 。发出这些光的点组成以我们为中心、半径为 $\chi_{\mathrm{rec}}$ 的球面，叫最后散射面。

下面所有长度都以 $\chi_{\mathrm{rec}}$ 为单位，球半径就是 1。作为参照，Planck 给出 $\chi_{\mathrm{rec}} \simeq 3.1\,H_0^{-1}$ ，其中 $H_0^{-1}$ 是哈勃长度，即光速除以今天的膨胀率。

球面和它的副本在哪里相交

在覆盖空间里，位于 $\mathbf{g}$ 的那个像也有自己的最后散射球面，半径同样是 1。点 $\mathbf{x}$ 同时落在两个球面上，要求

|\mathbf{x}| = 1, \qquad |\mathbf{x} - \mathbf{g}| = 1 .

两个条件各自平方后相减， $|\mathbf{x}|^2$ 抵消，剩下一个线性关系：

2\,\mathbf{x}\cdot\mathbf{g} = |\mathbf{g}|^2 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{x}\cdot\hat{\mathbf{g}} = \frac{|\mathbf{g}|}{2} .

公共点都落在一个垂直于 $\mathbf{g}$ 、位于去往副本半路上的平面里。平面切球得到圆。从球心看，这个圆绕方向 $\hat{\mathbf{g}}$ 张开的角半径 $\alpha$ 满足

\cos\alpha = \frac{|\mathbf{g}|}{2\chi_{\mathrm{rec}}} .

这是 Cornish、Spergel 和 Starkman 论文的第 8 式。右边小于 1 时圆才存在，也就是副本离我们不到两倍球半径。 $|\mathbf{g}| = 2$ 时两个球面只在一点相切。

同一个圆，出现在两处

圆上一点 $\mathbf{x}$ 发出的光，沿方向 $\hat{\mathbf{x}}$ 的直线到达我们。同一个物理点在我们自己这块砖里是 $\mathbf{x} - \mathbf{g}$ ，两者只差一个格点步长。从那里出发的光沿 $\mathbf{x} - \mathbf{g}$ 的方向到达我们。 $\mathbf{x}$ 绕 $\hat{\mathbf{g}}$ 走一圈时，伙伴点 $\mathbf{x} - \mathbf{g}$ 绕 $-\hat{\mathbf{g}}$ 走出一个同样大小的圆。

于是天空上有两个圆心方向相反的圆，带着同一串温度。搜索文献把它们叫做背对背圆对。如果用同一对互相垂直的方向给两个圆标角度，匹配点的角度相同；如果按观测者朝各自圆心望去时看到的顺序排列，其中一串是倒着走的。Planck 把这种排列叫做反相，并指出可定向的拓扑给出的都是反相匹配；可定向是说，把左手沿空间绕一圈带回来，它仍是左手。

数一数有几个圆

每对离我们不到 2 的像 $\pm\mathbf{g}$ 给出一对圆。Cornish、Spergel 和 Starkman 算过立方情形 $L = \chi_{\mathrm{rec}}$ ：最近的三个壳层 $|\mathbf{g}| = 1$ 、 $\sqrt{2}$ 、 $\sqrt{3}$ 给出

\alpha = 60^\circ,\ 45^\circ,\ 30^\circ ,

分别有 3、6、4 对。另有 3 对 $|\mathbf{g}| = 2$ 的副本只与球面相切， $\alpha = 0^\circ$ 。

例题。 $L = 1.2$ 时，第一壳层给出 $\cos\alpha = 0.6$ ， $\alpha = 53.13^\circ$ ，三对圆，圆心沿三个面的法向。第二壳层给出 $\cos\alpha = 1.2\sqrt{2}/2 \approx 0.849$ ， $\alpha \approx 31.95^\circ$ ，六对。第三壳层在 $2.08$ ，够不着。天空上共有 9 对。

例题。 $L = 1.93$ 时只有第一壳层够得着： $\cos\alpha = 0.965$ ， $\alpha \approx 15.2^\circ$ 。剩下三对小圆，沿盒子的三条棱方向各一对。这已经接近 Planck 能探测的最小圆，论文导读里会细说。

盒子比视野大的时候

观测者的每个像至少离我们 $L$ 。 $L$ 超过 2 时，最后散射球面的任何副本都碰不到我们的球面，天空上一个匹配圆也没有。每一片微波天空都来自不同的地方，和无限平直空间里一样。

这时圆检验回到不可辨识的极限：比视野大的有限盒子和无限平直空间，对这个检验给出同样的答案，没有圆对。别的统计量能否仍然找出这样的盒子，是另一个研究问题；COMPACT 预印本提出，对圆搜索检验不到的形状，可以看不同球谐系数之间的关联。

还有一个限度值得说一次。普通的立方三维环面里每一点都等价，观测者在哪里都一样；如果盒子的面带着旋转粘合，到最近副本的距离就随位置而变。COMPACT 预印本表明，这时绕空间一圈的最短路线可以绕开我们。我们的立方盒子只是最简单的教学情形，不代表真实宇宙的形状。

实验任务

先预测 $L = 1.6$ 时最大圆的角半径，再把盒子边长设为 $1.6$ ，读出最大圆的角半径。
把盒子角从 $1.9$ 拖到 $2.1$ ，看天图上的圆怎样缩小直到消失，记下最后一对圆消失时的边长。
对比数据行里的圆上温度曲线：盒轴圆对的两条线应当重合，无关圆对则不会。
解释为什么这些圆的圆心总在天空上相对的两点，而不是任意间隔。

练习

证明角半径为 $\alpha$ 的圆，实际半径是 $\sin\alpha$ （以 $\chi_{\mathrm{rec}}$ 为单位），并算出 $L = 1.2$ 第一壳层的值。
立方环面在 $L$ 取什么范围时恰好有三对圆？
一次圆搜索没有找到半径大于 $25^\circ$ 的圆对。假设宇宙是立方三维环面，这意味着 $L$ 至少是多少个 $\chi_{\mathrm{rec}}$ ？
为什么推导结果与观测者在哪块砖里无关？

答案

圆位于单位球面上的平面 $\mathbf{x}\cdot\hat{\mathbf{g}} = \cos\alpha$ 内，半径为 $\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sin\alpha$ 。 $L = 1.2$ 时 $\cos\alpha = 0.6$ ，半径为 $0.8$ 。
三对意味着第一壳层够得着、第二壳层够不着： $L$ 小于 2，且 $L\sqrt{2}$ 不小于 2，即 $\sqrt{2} \le L$ 且 $L$ 小于 2，大约从 $1.414$ 到 $2$ 。
最大的圆来自第一壳层： $\cos\alpha = L/2$ 。没有大于 $25^\circ$ 的圆，意味着 $L/2 \ge \cos 25^\circ \approx 0.906$ ，即 $L \ge 1.81$ 。单凭这次搜索，更小的圆仍然允许。
从任何一块砖看，格点阵列都一样，因为任意两个像之间都差一个格点步长。进入公式的只有差值 $\mathbf{g}$ 。

第一个任务的答案： $\cos\alpha = 0.8$ ， $\alpha \approx 36.9^\circ$ 。

来源：Cornish、Spergel 与 Starkman 1998，第 8 式与立方情形的圆对数，Planck 2015 结果第十八篇第 4.2 节：背对背圆与反相，COMPACT 合作组预印本：观测者位置与带旋转的环面。

先预测边长 1.6 时圆的角半径，再到实验里核对。