FR08-A · 宇宙只给了我们一片天空

一片天空与宇宙方差

即使把天空测得完美无缺，为什么仍然不能精确知道宇宙的统计规律？ 每个角尺度上，天空只容得下有限个独立图样。望远镜再精确，也只能测到我们这一片天空，测出的功率会围绕理论值起伏。大斑块对应的独立图样更少，起伏也更大。

转动合成的微波天空，把测出的角功率与生成它的理论谱放在一起看。换一片天空，或让更宽的望远镜波束模糊同一片天空。

波束后天空的温差均方根 $45.3\,\mu\mathrm K$

所选阶数的实测功率与理论值之比 $0.417$

固有相对散布 $53.5\%$

这个阶数的独立模式数 $7$

有限的宇宙视野

理论不变，天空各不相同

最细的角图样

\ell_{\max}

18

波束宽度

\theta_{\rm FWHM}/{}^\circ

0

输入起伏振幅

\sqrt{D_\ell}/(\mu\mathrm K)

30

拖动球面，环顾整片天空。加宽波束只会抹平同一片天空；换一片天空，随机图样才会改变。

选角尺度与随机种子

选中的角阶数

\ell

3

球面只显示选中的阶数随机种子

模型、归一化与不确定性

$D_\ell=\ell(\ell+1)C_\ell/(2\pi)$ 是缩放后的角功率；教学天空把它设为常数。单极、偶极均已去除，声学峰也不在这个模型里。

$B_\ell=\exp[-\ell(\ell+1)\sigma_b^2/2]$ 作用于保存的每一个球谐系数。下图分别标出原始天空、波束后天空和输入理论。天图和记录均为合成数据，不含遮罩、前景或探测器噪声。

阴影区间描述固定理论下反复生成天空时的散布，属于中央抽样区间，不是宇宙学参数的后验区间。集合直方图采用另一枚固定种子，可重复生成。

模型假设

合成天空采用统计各向同性的 Gaussian 球谐系数，最低阶为二，最高到二十四阶；输入的缩放功率谱为常数。Gaussian 波束直接过滤保存的同一组系数。模型不含遮罩、探测器噪声、前景和声学峰，也没有使用 Planck 天图。宇宙方差区间适用于这里的全天 Gaussian 模型。

合成的全天记录

一片天空会偏离理论的平均值

角功率

所选角尺度上，反复生成天空

每一阶有多少独立球谐模式，就决定了功率能起伏多大。蓝色区间包含给定输入谱下百分之九十五的重复天空。

精确的抽样关系

\frac{(2\ell+1)\widehat C_\ell}{C_\ell}\sim\chi^2_{2\ell+1},\qquad \frac{\sigma(\widehat C_\ell)}{C_\ell}=\sqrt{\frac{2}{2\ell+1}}

0.241<\widehat C_3/C_3<2.29

记录保存种子、参数、非负角阶的复系数、波束后的系数、功率谱与区间约定。负角阶系数由实温度场要求的共轭关系确定。

Knox（1995）的全天模式计数极限

继续学习：从角图样走向宇宙学推断

先抓重点

核心问题: 即使把天空测得完美无缺，为什么仍然不能精确知道宇宙的统计规律？
一句话直觉: 大角尺度的独立模式更少，只凭一片天空，平均功率就更难估准。

核心数学模型

球面上的温度图样

\Delta T(\hat n)=\sum_{\ell=2}^{\ell_{\max}}\sum_{m=-\ell}^{\ell}a_{\ell m}Y_{\ell m}(\hat n),\quad a_{\ell,-m}=(-1)^m a_{\ell m}^*

正交归一的复球谐函数描述不同角图样。共轭关系保证温度为实数。模型去掉了单极与偶极，温差统一用微开尔文。

从一片天空估计功率

\widehat C_\ell=\frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^{\ell}|a_{\ell m}|^2

在每一阶，把系数振幅的平方相加，再按独立实模式数取平均。天图和功率估计使用保存的同一组系数。

全天 Gaussian 抽样规律

(2\ell+1)\widehat C_\ell/C_\ell\sim\chi^2_{2\ell+1},\qquad \sigma(\widehat C_\ell)/C_\ell=\sqrt{2/(2\ell+1)}

独立 Gaussian 坐标的平方和服从卡方分布。中央抽样区间并不对称，低阶时尤其明显。这里描述的是固定理论下，不同可能天空之间的散布。

常见难点

测得精确，仍有宇宙方差

容易误解天图没有噪声，就一定能精确得到理论功率谱。

正确理解无噪声天图能精确给出我们这一次实现的系数。理论谱描述的是许多可能实现的平均规律；模式数有限，抽样散布仍然存在。

动手实验

01
保持理论不变
按“换一片天空”之前，先猜白色理论线和金色散点各会不会动。连续换几片天空。
你会看到： 理论线保持不动，金色散点却会改变。某阶功率偏高或偏低，可能仅仅来自有限随机样本。
02
比较大小图样
先选“少数大斑块”，再选“小斑块浮现”。展开“选角尺度与随机种子”，把角阶数从最低阶移到更高阶。
你会看到： 阶数升高后，重复天空的分布变窄。独立模式更多，估出的功率就更稳定地靠近输入值。
03
模糊同一片天空
先猜哪些斑块会最先消失，再增加“波束宽度”，中间不要换天空。随后保存天空与球谐系数。
你会看到： 小斑块最先变淡。青色曲线在高阶下降，原始金点却保持原位。保存的系数完整确定了这两种视图。

一片天空与宇宙方差

一片天空会偏离理论的平均值

角功率

所选角尺度上，反复生成天空