宇宙只给一片天空，功率还能测多准

球面也有适合它的波形

平面可以拆成正弦波，球面可以拆成球谐函数 $Y_{\ell m}$ 。阶数 $\ell$ 越高，图样越细；同一阶的不同 $m$ 描述不同方向的变化。系数 $a_{\ell m}$ 给出每种图样的振幅和相位。我们去掉平均温度与偶极后，从二阶开始。

球谐函数可写成复数，真实温差却必须是实数。负编号系数由正编号的共轭决定，不能把所有复系数都独立抽样。每一阶恰好留下两倍阶数加一份独立实自由度。也可以直接用同样数量的实正交球谐系数，计算完全等价。

\Delta T(\hat n)=\sum_{\ell=2}^{\ell_{\max}}\sum_{m=-\ell}^{\ell}a_{\ell m}Y_{\ell m}(\hat n),\quad a_{\ell,-m}=(-1)^m a_{\ell m}^{*}

球谐函数在全天正交归一。这里温差与系数用微开尔文，理论角功率用微开尔文平方。

统计各向同性意味着同一阶的每个独立实模式有相同理论方差 $C_\ell$ 。Gaussian 模型中，把它们各自除以标准差，得到独立标准正态数。把这些数平方后相加，服从自由度等于模式数的卡方分布。

这一步给出一个很具体的结论：功率估计围绕理论平均起伏，而且低阶的分布明显偏斜。提高望远镜精度能压低测量噪声。剩下的宇宙方差，由这片天空有限的模式数决定。

\widehat C_\ell=\frac{1}{2\ell+1}\sum_m|a_{\ell m}|^2,\quad\frac{(2\ell+1)\widehat C_\ell}{C_\ell}\sim\chi^2_{2\ell+1}

分母中的理论功率固定，分子来自反复生成的天空。这个抽样分布是全天 Gaussian 模型的结果。

\mathbb E[\widehat C_\ell]=C_\ell,\qquad\frac{\sqrt{\operatorname{Var}(\widehat C_\ell)}}{C_\ell}=\sqrt{\frac{2}{2\ell+1}}

标准卡方分布的均值等于自由度，方差等于两倍自由度；代回即可得到无偏性和相对宇宙方差。

二阶只有五个独立模式，相对标准差约为 $\sqrt{2/5}=0.632$ ；二十阶有四十一个模式，相对标准差约为 $\sqrt{2/41}=0.221$ 。后者的功率估计仍会起伏，但重复抽样时更集中。这里比较的是功率，不能把百分之六十三直接当作温差振幅误差。

二阶的百分之九十五中央抽样带是 $0.166<\widehat C_2/C_2<2.57$ ，二十阶则约为 $0.615<\widehat C_{20}/C_{20}<1.48$ 。低阶的区间明显不对称，简单画一条均值加减标准差的对称带，会漏掉这个形状。

功率谱也没有保留天空的一切信息。改变正角阶系数的相位，同时保持实场的共轭关系，会移动冷热斑块；若各阶系数平方和不变，角谱就保持不变。许多不同的天图，可以有同一条角功率谱。

已知理论功率时，可以问“重复抽样的功率有多少落在带里”。若 $q_{\nu,p}$ 表示卡方分布的分位数，中央百分之九十五的抽样范围就是理论功率乘上下两个分位数，再除以自由度。它围绕固定理论标出随机结果的范围。

如果手里只有测出的功率，而理论功率未知，就反过来解同一个不等式。这样得到理论功率的频率学置信区间：反复做实验时，所构造的区间有相应比例覆盖真值。它与采样带的端点不同。Bayesian 后验区间另由似然与先验共同确定。

\frac{C_\ell q_{\nu,0.025}}{\nu}\leq\widehat C_\ell\leq\frac{C_\ell q_{\nu,0.975}}{\nu},\quad\nu=2\ell+1

固定理论，观察估计量落在哪里。实验谱图采用这种抽样范围。

\frac{\nu\widehat C_\ell}{q_{\nu,0.975}}\leq C_\ell\leq\frac{\nu\widehat C_\ell}{q_{\nu,0.025}}

固定已观测估计量，反解未知理论功率。分位数在分母，大小次序也随之反转。

理想圆对称 Gaussian 波束把每一阶系数乘上确定窗函数。功率随窗函数平方下降，但同阶模式数保持不变。若理论曲线也经过同样平滑，功率比的相对宇宙方差依旧由模式数决定。真实仪器还会加入噪声与遮罩，下一章再处理这些影响。

这个实验最高到二十四阶，并采用便于观察的预设谱。它适合看独立模式数和抽样范围，不包含声学峰，也不把生成的冷热斑块当作 Planck 观测。实际天空的高阶峰结构在声学网格实验中单独研究。